ASSALAMU’ALAIKUM Wr. Wb

PERTEMUAN 2 SISTEM BILANGAN REAL

DEFINISI Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari A x A ke A. Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real, Yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.)

Teorema 1.1 Sifat Aljabar dari 𝑹 Pada himpunan bilangan real R terdapat dua operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Dua operasi biner tersebut mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (A1) (a+b) + c = a + (b+c), ∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 (sifat assosiatif dari penjumlahan) (A2) ∃0∈𝑅,∋0+𝑎=𝑎, ∀𝑎∈𝑅 (eksistensi elemen nol)

(A3) ∀𝑎∈𝑅,∃−𝑎∈𝑅;∋𝑎+ −𝑎 =0 (A4) 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎, ∀𝑎,𝑏∈𝑅 (Eksistensi elemen negatif) (A4) 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎, ∀𝑎,𝑏∈𝑅 (Sifat komutatif dari penjumlahan) (M1) a.b . c=a. b.c , ∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 (Sifat asosiatif dari perkalian) (M2) ∃1∈𝑅,1≠0,∋1.𝑎=𝑎,∀𝑎∈𝑅 (Eksistensi elemen satuan) (M3) ∀𝑎∈𝑅,∃𝑎≠0;∋ 1 𝑎 ∈𝑅∋𝑎. 1 𝑎 =1 (Eksistensi invers)

(Sifat komutatif dari perkalian) (D) a. b+c = 𝑎.𝑏 + 𝑎.𝑐 , ∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 (M4) a.b=b.a, ∀𝑎,𝑏∈𝑅 (Sifat komutatif dari perkalian) (D) a. b+c = 𝑎.𝑏 + 𝑎.𝑐 , ∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 (Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) Kesembilan teorema diatas dikenal dengan Aksioma Lapangan (Field)

Teorema 1.2 (a) Jika 𝑧,𝑎 ∈𝑅, 𝑧+𝑎=𝑎, maka 𝑧=0 BUKTI: z + a = a, dengan menambahkan –a pada kedua ruas, diperoleh: (z+a) + (-a) = a + (-a) Pada ruas kanan: (z+a) + (-a) = z + (a+(-a)) = z + 0 = z Pada ruas kiri: (a) + (-a) = 0 Jadi dapat disimpulkan bahwa z = 0

Teorema 1.2 (b) Jika 𝑢,𝑏∈𝑅,𝑢𝑏=𝑏, 𝑏 ≠0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢=1 BUKTI: KERJAKAN! Diketahui 𝑢,𝑏∈𝑅;𝑢.𝑏=𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑏≠0 Terdapat 1 𝑏 ∈𝑅∋𝑏. 1 𝑏 = 1 Kedua ruas dikalikan dengan 1 𝑏 , sehingga diperoleh: 𝑢.𝑏 1 𝑏 =𝑏. 1 𝑏

Ruas kanan: 𝑢. 𝑏 1 𝑏 =𝑢. 𝑏. 1 𝑏 =𝑢. 1=𝑢 Ruas kiri: 𝑏 Ruas kanan: 𝑢.𝑏 1 𝑏 =𝑢 . 𝑏. 1 𝑏 =𝑢 . 1=𝑢 Ruas kiri: 𝑏. 1 𝑏 = 1 Sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝑢=1

Teorema 1.3 (a) Jika 𝑎,𝑏∈𝑅,𝑎+𝑏=0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏=−𝑎 Bukti: 𝑎+𝑏=0, dengan menambahkan −𝑎 pada kedua ruas diperoleh: (−𝑎)+(𝑎+𝑏)=(−𝑎)+0 Pada ruas kiri: (−𝑎)+(𝑎+𝑏)=(−𝑎+𝑎)+𝑏=0+𝑏=𝑏 Pada ruas kanan: −𝑎 +0=−𝑎 Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝑏=−𝑎

Teorema 1.3 (b) Jika 𝑎,𝑏∈𝑅,𝑎≠0∋𝑎𝑏=1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏= 1 𝑎 Bukti: KERJAKAN! Diketahui 𝑎,𝑏∈𝑅, 𝑎≠0∋𝑎𝑏=1 Berdasarkan sifat M4, ∃ 1 𝑎 ∈𝑅∋𝑎. 1 𝑎 =1 Jika kedua ruas dikalikan 1 𝑎 , maka diperoleh: 1 𝑎 . 𝑎𝑏 = 1 𝑎 .1

Ruas kanan : 1 𝑎. 𝑎𝑏 = 1 𝑎. 𝑎. 𝑏=1. 𝑏=𝑏 Ruas kiri : 1 𝑎. 𝑎𝑏 = 1 𝑎 Ruas kanan : 1 𝑎 . 𝑎𝑏 = 1 𝑎 .𝑎 .𝑏=1.𝑏=𝑏 Ruas kiri : 1 𝑎 . 𝑎𝑏 = 1 𝑎 .1= 1 𝑎 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: 𝑏= 1 𝑎

Teorema 1.4 Misalkan diberikan sebarang 𝑎,𝑏∈𝑅, maka: (a) Persamaan 𝑎+𝑥=𝑏 mempunyai penyelesaian tunggal x=(−𝑎)+𝑏 Bukti: Misalkan x=(−𝑎)+𝑏, maka a+x=a+ −𝑎 +𝑏 = 𝑎+ −𝑎 +𝑏=0+𝑏=𝑏 Mengakibatkan bahwa x=(−𝑎)+𝑏 merupakan penyelesaian dari persamaan 𝑎+𝑥=𝑏 . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal.

Misalkan 𝑥 1 adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut, maka 𝑎+ 𝑥 1 =𝑏 dan jika pada kedua ruas ditambahkan –a, Maka diperoleh: −𝑎 + 𝑎+ 𝑥 1 = −𝑎 +𝑏 Ruas kiri: −𝑎 + 𝑎+ 𝑥 1 = −𝑎+𝑎 + 𝑥 1 =0+ 𝑥 1 = 𝑥 1 Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝑥 1 = −𝑎 +𝑏

Teorema 1.4 Misalkan diberikan sebarang 𝑎,𝑏∈𝑅, maka: (b) Jika 𝑎≠0, maka persamaan 𝑎𝑥=𝑏 mempunyai penyelesaian tunggal 𝑥= 1 𝑎 𝑏 Bukti: TUGAS MANDIRI !

Teorema 1.5 Jika 𝑎∈𝑅, maka : (a) 𝑎.0=0 (c) − −𝑎 =𝑎 (b) −1 .𝑎=−𝑎 (d) −1 −1 =1 Bukti: (a) 𝑎.0=0 Dari sifat M2, 𝑎.1=𝑎 selanjutnya dengan menambahkan 𝑎.0 pada diperoleh: 𝑎+𝑎.0=𝑎.1+𝑎.0=𝑎 1+0 =𝑎.1=𝑎

𝑎+𝑎.0=𝑎.1+𝑎.0=𝑎 1+0 =𝑎.1=𝑎 Dari teorema 𝑧+𝑎=𝑎, maka 𝑧=0 dapat dilihat bahwa 𝑎+𝑎.0=𝑎 Maka 𝑎.0=0

Teorema 1.5 (b) −1 .𝑎=−𝑎 Bukti: Dengan menerapkan sifat M3 dan M4, diperoleh: −1 𝑎+𝑎=(−1)𝑎+1.𝑎= −1+1 𝑎=0.𝑎=0 Dari teorema 𝑎+𝑏=0, maka 𝑏=−𝑎, sehingga disimpulkan: −1 𝑎+𝑎=0 −1 𝑎=−𝑎

Teorema 1.5 (c) −(−𝑎)=𝑎 Bukti: KERJAKAN ! Dengan menerapkan sifat A4 𝑎+−𝑎=0 Dan menggunakan teorema : 𝑎,𝑏∈𝑅,𝑎+𝑏=0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏=−𝑎 Sehingga disimpulkan bahwa: 𝑎=−(−𝑎)

Teorema 1.5 (d) −1 .(−1)=1 Bukti: KERJAKAN ! Dengan menggunakan teorema: −1 .𝑎=−𝑎 Kemudian subtitusi 𝑎=−1, maka diperoleh: −1 .𝑎=−𝑎 −1 . −1 =− −1 −1 .(−1)=1

Teorema 1.6 Misalkan 𝑎,𝑏,𝑐 ∈𝑅, maka: (a) Jika 𝑎≠0, maka 1 𝑎 ≠0dan 1 1 𝑎 =𝑎. (b) Jika 𝑎.𝑏=𝑎.𝑐 dan 𝑎≠0, maka 𝑏=𝑐 (c) Jika 𝑎.𝑏=0, maka 𝑎=0 atau 𝑏=0

Teorema 1.6 Misalkan 𝑎,𝑏,𝑐 ∈𝑅, maka: (a) Jika 𝑎≠0, maka 1 𝑎 ≠0 dan 1 1 𝑎 =𝑎. Bukti: 𝑎≠0, maka 1 𝑎 ada. Andaikan 1 𝑎 = 0 dan kedua ruas dikalikan dengan 𝑎, maka diperoleh: 𝑎. 1 𝑎 =𝑎.0 1 = 0

Kontradiksi, sehingga pengandaian 1 𝑎 = 0 salah Kontradiksi, sehingga pengandaian 1 𝑎 = 0 salah. Haruslah 1 𝑎 ≠ 0 Selanjutnya karena 𝑎. 1 𝑎 =1, maka berdasarkan teorema: 𝑎. 𝑏=1 Maka 𝑏= 1 𝑎 Maka dapat disimpulkan bahwa 1 1 𝑎 =𝑎

Teorema 1.7 Tidak ada bilangan rasional r sehingga 𝑟 2 =2 Bukti: Andaikan terdapat bilangan rasional r sehingga 𝑟 2 =2 Sehingga 𝑝 𝑞 2 = 2, dengan 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 ∈𝑍, 𝑞≠0 Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan p dan q bilangan positif dengan FPB adalah 1. Sehingga 𝑝 𝑞 2 = 2 diperoleh 𝑝 2 =2 𝑞 2 , maka 𝑝 2 bilangan genap. Akibatnya p juga bilangan genap.

Karena jika p ganjil, maka 𝑝 2 juga ganjil Karena jika p ganjil, maka 𝑝 2 juga ganjil. Karena 2 bukan faktor persekutuan dari p dan q, maka q bilangan ganjil (supaya menghasilkan 𝑝 2 bilangan genap) Selanjutnya, karena p genap maka p = 2m, m ∈𝑍. Akibatnya 𝑝 2 =4𝑚 2 =2 𝑞 2 atau 2𝑚 2 = 𝑞 2 . Jadi, 𝑞 2 bilangan genap. Sehingga q juga bilangan genap. Sehingga kontradiksi bahwa q bilangan genap yang sekaligus ganjil. Sehingga pengandaian bilangan rasional r sehingga 𝑟 2 =2 (salah)

Contoh: Buktikan bahwa 7 bilangan irrasional. Bukti: Akan dibuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional t sedemikian sehingga 𝑡 2 =7. Andaikan ada bilangan rasional t sedemikian sehingga 𝑡 2 =7. Misal, 𝑡= 𝑚 𝑛 ,𝑚,𝑛∈𝑍 dan FPB m dan n = 1. akibatnya 𝑚 𝑛 2 = 7, maka 𝑚 2 =7𝑛 2 Sehingga 𝑚 2 kelipatan 7, akibatnya m juga kelipatan 7.

Karena m kelipatan 7, maka dapat ditulis dengan m = 7k, k∈𝑍 Karena m kelipatan 7, maka dapat ditulis dengan m = 7k, k∈𝑍. Jika m = 7k, maka 𝑚 2 =(7𝑘) 2 = 49 𝑘 2 Hal ini kontradiksi dengan 𝑚 2 =7𝑛 2 . Sehingga pengandaian ada bilangan rasional t sedemikian sehingga 𝑡 2 =7 (salah). Jadi terbukti bahwa tidak ada bilangan rasional t sedemikian sehingga 𝑡 2 =7 Dengan kata lain, 7 bilangan irrasional.

TUGAS MANDIRI 1: 1. Teorema 1.4 bagian b ! 2. Teorema 1.6 bagian b ! 3. Teorema 1.6 bagian c ! 4. Latihan 2.1 No. 10 !

WASSALAMU’ALAIKMUM. Wr. Wb. TERIMA KASIH WASSALAMU’ALAIKMUM. Wr. Wb.