Nilai Harapan Peubah Acak Pengantar Teori Peluang Semester Genap 2011/2012 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Nilai Harapan Rata-rata Nilai yang paling mungkin terjadi 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh P.A. Diskrit (kasus sebelumnya): Suatu panitia berjumlah 2 orang akan dipilih random dari 3 orang partai R, 2 orang partai D dan 1 orang partai L. X: jumlah panitia terpilih dari partai R Y: jumlah panitia terpilih dari partai D R D L 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Berapa rata-rata jumlah panitia (dari 2 orang panitia) yang terpilih dari partai R? Berapa rata-rata jumlah panitia (dari 2 orang panitia) yang terpilih dari partai D? Digunakan konsep nilai harapan pada sebaran marjinal 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Peluang Gabungan dan Sebaran Marjinal f(x, y) x 1 2 y   x 1 2 fx(x) fy(y) y 1 2 fy(y) fx(x) 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perhitungan Nilai Harapan x 1 2 Total fx(x) x.fx(x) Untuk peubah acak X: jumlah panitia terpilih dari partai R Secara rata-rata akan terpilih 1 orang dari partai R 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perhitungan Nilai Harapan Untuk peubah acak Y: jumlah panitia terpilih dari partai D y 1 2 Total fy(y) y. fy(y) Secara rata-rata akan terpilih 1 orang dari partai D 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Definisi Nilai Harapan untuk P.A. Diskrit Menggunakan fungsi sebaran marjinal masing-masing Untuk peubah acak X: Untuk peubah acak Y: 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh P.A. Kontinyu 1: X: proporsi waktu efektif menjalankan tugas dalam satu hari oleh karyawan 1 Y: proporsi waktu efektif menjalankan tugas dalam satu hari oleh karyawan 2. Diamati total proporsi waktu efektif dari kedua karyawan tersebut, dengan fungsi peluang gabungan di atas. Berapa rata-rata proporsi waktu efektif menjalankan tugas karyawan 1? Berapa rata-rata proporsi waktu efektif menjalankan tugas karyawan 2? 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perhitungan Nilai Harapan Fungsi sebaran marjinal bagi X Nilai harapan: 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perhitungan Nilai Harapan Fungsi sebaran marjinal bagi Y: Nilai harapan bagi Y: 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perhitungan Nilai Harapan Rata-rata proporsi waktu kerja efektif karyawan 1 adalah 7/12 Rata-rata proporsi waktu kerja efektif karyawan 2 adalah 7/12 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh P.A. Kontinyu 2: X: waktu kedatangan antar pelanggan Y: waktu pelayanan X dan Y kontinyu (dalam menit) Fungsi kepekatan peluang bersama: Berapa rata-rata waktu kedatangan antar pelanggan? Berapa rata-rata waktu pelayanan? 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Fungsi marjinal X dan Y 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Rata-rata waktu antar kedatangan (X) adalah satu menit. Rata-rata waktu pelayanan (Y) adalah ½ menit. 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Definisi Nilai Harapan untuk P.A. Kontinyu Menggunakan fungsi sebaran marjinal masing-masing Untuk peubah acak X: Untuk peubah acak Y: 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat Nilai Harapan Untuk satu peubah diskrit: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sifat-sifat nilai Harapan Nilai harapan untuk fungsi linier: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sifat-Sifat Nilai Harapan Untuk Peubah acak diskrit 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sifat-sifat Nilai Harapan Untuk satu peubah kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sifat-sifat nilai Harapan Nilai harapan untuk fungsi linier: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sifat-Sifat Nilai Harapan Untuk Peubah acak kontinyu 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Keragaman Ukuran ketersebaran/fluktuasi nilai peubah acak 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Contoh Keragaman: Dilemparkan dua buah dadu X: jumlah angka pada dadu I Y: jumlah angka pada dadu II Berapa rata-rata jumlah angka yang muncul pada dadu I? Berapa besar keragaman jumlah angka yang muncul pada dadu I? 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sebaran Peluang Gabungan X Y 1 2 3 4 5 6 fx(x) 1/36 1/6 fy(y) 25/05/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Sebaran Peluang Marjinal X 1 2 3 4 5 6 Total fx(x) 1/6 xfx(x) 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 21/6 x2fx(x) 9/6 16/6 25/6 36/6 91/6 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Dengan keragaman sekitar 2.9 Secara rata-rata, jumlah mata dadu yang muncul pada dadu I adalah 3 atau 4. Dengan keragaman sekitar 2.9 ± 1.7 dari angka 3 atau 4. 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Contoh (fungsi linier) X dan Y kontinyu (dalam menit) X: waktu antar kedatangan pelanggan Y: waktu layanan Fungsi kepekatan peluang bersama: Biaya operasional mesin layanan: $5 per menit operasional + fixed cost $1 Berapa nilai harapan biaya operasional mesin layanan? 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Nilai harapan (rata-rata waktu operasional layanan): Fungsi marjinal Nilai harapan (rata-rata waktu operasional layanan): Fungsi linier biaya operasional: 25/05/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Rata-rata biaya operasional adalah: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah Peubah X dan Y diskrit: Peubah X dan Y kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah Untuk fungsi linier berikut pada peubah X dan Y diskrit: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah Dengan cara yang sama untuk X dan Y kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Contoh (fungsi linier) Pada contoh sistem layanan sebelumnya. X: waktu antar kedatangan Y: waktu layanan Rewards diberikan kepada sistem layanan apabila waktu layanan lebih cepat daripada waktu antar kedatangan. Diberikan reward $2 setiap menit selisih rata-rata waktu antar kedatangan dan waktu layanan. 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Fungsi yang melambangkan besarnya rewards: Dari sebelumnya: Rata-rata besarnya rewards 10/06/2011 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Perbaikan untuk perhitungan ragam 12/5/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc