STATISTIKA UNTUK TEKNIK SIPIL

MATERI • Konsep sampel dan syarat keterwakilan • Hubungan parameter sampel dan parameter populasi normal • Cara membuat histogram dari data sampel • Kertas probabilitas • Metode Chi-kuadrat dan Kosmolorov Smirnov untuk menguji distribusi • Menghitung nilai rata dalam selang keyakinan

Sampel dan populasi Populasi = keseluruhan obyek pengamatan Sampel = himpunan bagian populasi yang mewakili populasi memenuhi syarat keterwakilan

TEKNIK SAMPLING Teknik sampling Teknik sampling adalah teknik pengambilan sampel untuk menentukan sampel yang akan digunakan dalam penelitian antara lain. A. Probabiliy sampling Teknik pengambilan sampel yang memberikan peluang yang sama bagi setiap unsur (anggota) populasi untuk dipilih menjadi anggota sampel. B.Non-probability sampling. Teknik pengambilan sampel yang tidak memberi peluang/ kesempatan sama bagi setiap unsur atau anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel.

Probabiliy sampling a. Simple random sampling. Teknik pengambilan sampel dari populasi sangat sederhana dengan cara mengambil acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi. Dengan sayarat anggota populasi homogen. b. Proportionate stratified random sampling Teknik pengambilan sampel bila populasi tidak homogen dan berstrata secara proporsional c. Disproportionate staratified ramdom sampling Teknik ini digunakan untuk menentukan jumlah sampel, bila populasi berstrtata tapi kurang proporsional d. Cluster sampling Teknik sampling daerah digunakan untuk menentukan sampel bila objek yang akan diteliti atau sumber data sangat luas, misalnya penduduk suatu negara.

Non-probability sampling a. Sampling sistematis Teknik pengambilan sampel berdasarkan urutan dari anggota populasi yang telah diberi nomor urut. b. Sampling kuota Teknik menentukan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah yang diinginkan. c. Sampling insidental Teknik penentuan sampel berdasarkan kebetulan yaitu siapa saja yang secara kebetulan bertemu dengan peneliti dapat digunakan sebagai sampel. d. Sampling purposive Teknik penentuan sampel dengan pertimbangan tertentu, penelitian tentang kualitas makanan maka sampelnya orang ahli makanan. e. Sampling jenuh Teknik pennetuan sampel bila semua anggota populasi digunakan sebagai sampel f. Snowball sampling Teknik penentuan sampel yang mula-mula jumlahnya kecil, kemudian membesar. - Sampel tertutup pencandu narkoba, homo,dll. Diwawancarai 1 org, yg lain diminta yg 1 org ini mewawancara

Menentukan ukuran sampel Jumlah sampel diharapkan 100% mewakili populasi atau sama dengan populasi itu sendiri. makin besar jumlah sampel mendekati populasi maka peluang kesalahan generalisasi semakin kecil. Berapa jumlah sampel tergantung pada tingkat ketelitian atau kesalahan yang dikehendaki selain tergantung pada dana, tenaga dan waktu

Dalam penetapan besar kecilnya sampel tidaklah ada suatu ketetapan yang mutlak, artinya tidak ada suatu ketentuan berapa persen suatu sampel harus diambil. Suatu hal yang perlu diperhatikan adalah keadaan homogenitas dan heterogenitas populasi. Jika keadaan populasi homogen, jumlah sampel hampir-hampir tidak menjadi persoalan, sebaliknya, jika keadaan populasi heterogen, maka pertimbangan pengambil sampel sampel harus memperhatikan hal ini : 1. harus diselidiki kategori-kategori heterogenitas 2. besarnya populasi

Syarat keterwakilan Diambil secara acak Proses pengambilan sedemikian sehingga setiap anggota punya peluang sama Jumlah mencukupi Jika populasi berumpun, setiap rumpun punya peluang sama untuk dipilih Proportional atau seimbang

Hasil pengukuran sampel Dikelompokkan dan dibuat histogram yang mewakili populasi. Diukur tendensi dan keragaman yang merupakan parameter sampel Parameter sampel menjadi penduga tak-bias untuk parameter populasi.

Cara membuat histogram Tetapkan jumlah selang berdasarkan pengamatan tertinggi serta terendah dan jumlah pengamatan Kelompokkan data pada tiap selang Hitung anggota tiap kelompok Buat tabel frekuensi dan gambar histogram

Dalil limit pusat Rata2 sampel menyebar disekitar rata2 populasi n kecil n besar Rata2 sampel menyebar disekitar rata2 populasi Makin besar ukuran sanpel makin sempit sebaran rata2 sampel

Penaksiran parameter populasi dari parameter sampel Plot kertas probabilitas Penaksiran nilai rata2 jika varian diketahui jika varian tak diketahui Penaksiran varian Uji bentuk distribusi metode khi-kuadrat metode KS

Kertas probabilitas Distribusi seragam Distribusi peluang Kertas grafik yang menggambarkan data pengamatan eksperimental dan frekwensi komulatif (probabilitas) Distribusi seragam Skala normal Distribusi peluang Skala normal Distribusi kumulatif

Kertas probabilitas normal X0.84.  s(s) 0.5 0.84 0.96 s -2 -1 1 2 3

Contoh = cari saat prob komulatif 0.5yaitu=76.5 kekuatan patah prob komulatif 1 69.5 0.037 2 71.9 0.074 3 72.6 0.111 4 73.1 0.148 5 73.3 0.185 6 73.5 0.222 7 74.1 0.259 8 74.2 0.296 9 75.3 0.333 10 75.5 0.370 11 75.7 0.407 12 75.8 0.444 13 76.1 0.481 14 76.2 0.519 15 0.556 16 76.9 0.593 17 77 0.630 18 77.9 0.667 19 78.1 0.704 20 79.6 0.741 21 79.7 0.778 22 79.9 0.815 23 80.1 0.852 24 82.2 0.889 25 83.7 0.926 26 93.7 0.963 = cari saat prob komulatif 0.5yaitu=76.5 Kukuatan patah saat z=1 probabilas 0.84 (Tabel) Diperoleh kekuatan runtuh =81.5 =81.5-76.5=5

Uji khi-kuadrat Membandingkan frekuensi data histogram dengan frekuensi teoritis Contoh pengujian distribusi kuat tekan beton dari benda uji 50 silinder terhadap distribusi normal dengan tendensi 22.24 Mpa dan varian 3.48 Kekuatan tekan Mpa Frekuensi pengamatan Frekuensi teoritis (N) (ai – ei)2 <20 20-21 21-22 22-23 23-24 24-25 >25 2 6 9 11 12 8 3.58 5.36 8.47 15.36 8.42 5.34 3.47 2.49 0.41 0.28 19.1 12.81 7.07 2.16 Total 0.69 0.075 0.033 1.243 1.521 1.32 0.62 --------------- 5.5 Nilai Khi-kuadrat untuk taraf nyata 5% dan derajat bebas 5 adalah 11.07, lebih besar dari 5.5, sehingga distribusi normal layak diterima

Nilai rata-rata dan varians sample Bila S2 adalah varians sampel ukuran n diambil dari populasi normal dengan 2 maka: Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v=n-1

UJI KOLMOGOROF SMIRNOV (KS) PROSEDUR: Perbandingan antara frekwensi komulatif eksperimental dengan distribusi teoritis yang diasumsikan. Jika perbedaannya cukup besar maka model distribusi teoritis ditolak. Dari data dengan ukuran n, diatur kembali dengan urutan yang makin meningkat, kemudian cari frekwensi komulatifnya

Dari data membentuk komulatif diperoleh 𝑆𝑛 𝑥 = 0 𝑥< 𝑥 1 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘 ≤𝑥≤ 𝑥 𝑘+1 1 𝑥≥ 𝑥 𝑛 X1, x2 ,…..xn adalah data yang sudah diatur F(x) : distribusi yang diusulkan 𝐷𝑛=𝑚𝑎𝑘𝑠 [(𝐹 𝑥 −𝑆𝑛 𝑥 ] 𝑃 𝐷 𝑛 ≤ 𝐷 𝑛 𝛼 =1−𝛼

Contoh soal Suatu penelitian tentang berat badan peserta pelatihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal?

LANGKAH PENGERJAAN langkah pertama adalah menetukan rata-rata data yaitu:   rata2= Σdata/n=2195/27=81,3 langkah berikutnya adalah menghitung Standart defiasi: SD=akar(Σ (x-xrata)2/n)=akar(2749.63/27)=akar(101.838)=10,1 menghitung z score untuk i=1 maka didapkan (67-81,3)/10,1=- 1,39 (komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung dari luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.) menentukan Fs dari saat i=1 yaitu data pertama yaitu x=67 jumlahnya yaitu ada 2 yaitu pada data pertama dan kedua maka Fs pada data pertama diperoleh 2/27=0.740 |Ft-Fs| pada data pertama adalah |0.823-0.740|=0.083,

No          Xi       Z-score Ft Fs   | Ft -Fs | 1 67 -1,39 0,0823 0,0740 0,0083 2 3 68 -1,29 0,0985 0,1111 0,0126 4 69 -1,19 0,1170 0,1481 0,0311 5 70 -1,10 0,1357 0,2222 0,0865 6 7 72 -0,90 0,1841 0,2963 0,1122 8 9 77 -0,42 0,3372 0,3704 0,0332 10 11 78 -0,32 0,3745 0,5185 0,1440 12 13 14 15 80 -0,12 0,4522 0,5555 0,1033 16 82 0,07 0,5279 0,5926 0,0647 17 84 0,26 0,6026 0,6296 0,0270 18 87 0,55 0,7088 0,6666 0,0422 19 88 0,65 0,7422 0,7037 0,0385 20 89 0,75 0,7734 0,7407 0,0327 21 90 0,84 0,7995 0,8148 0,0153 22 23 95 1,33 0,9082 0,8518 0,0547 24 97 1,53 0,9370 0,9629 0,0259 25 26 27 98 1,62 0,9474 1,000 0,0526 rata2 81,2963   S 10.2837

Statistik uji : D = maks  | Ft  - Fs  |  = 0.1440 Kriteria uji : tolak  Ho  jika Dmaks  ≥ Dtabel , terima dalam hal lainya.dengan α = 0,05 dan N=27 Karena Dmaks  = 0,1440 < Dtabel  = 0,2540,jadi Ho diterima,berarti sampel yang diambil dari populasi yang berdistribusi normaL

Penaksiran nilai rata2 Jika varian diketahui Populasi berdistribusi normal

latihan no Kuat tekan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 mpa 26 28 31 25 27 29 30 Sebuah pekerjaan beton sedang berdistribusi normal dengan standar deviasi 3 Mpa Hasil uji 10 sampel adalah: Dengan  5% taksir selang nilai rata2

Penaksiran nilai rata2 Jika varian tidak diketahui Gunakan distribusi t-student

Latihan Kuat geser (ksf) dari 13 sampel tanah lempung adalah sbb: 0,35; 0,4;0,41; 0.42; 0,43;0.48;0.49;0,58;0,68;0,7;0,75;0.87;0.96. Hitunglah rata-rata dan deviasi standar sampel tersebut Bila selang kepercayaan 98% tentukan penaksiran nilai rata-rata dengan asumsi  = S (d) Tentukan juga selang rata, bila varian  tidak diketahui (d) Gambarlah data pada kertas normal. Taksirlah parameter normal