Analisis Kombinatorik Pengantar Teori Peluang Semester Genap 2011/2012 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Analisis Kombinatorik / Counting Problems Contoh: 1 pria (M) dan 2 wanita (W) di dalam ruang Ditunjuk 1 orang secara acak, barapa peluang (P1) bahwa yang ditunjuk adalah laki-laki? Jika ditunjuk 2 orang secara acak, berapa peluang bahwa 2 orang tsb 1 pria dan 1 wanita (P2)? Counting problems: menghitung ada berapa cara suatu kejadian dapat terjadi 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Counting Problems Seluruh kemungkinan pada kasus 1: M, W1, W2 Kejadian terpilihnya laki-laki: M Seluruh kemungkinan pada kasus 2: (M, W1), (M, W2), (W1, W2) Kejadian terpilihnya 1 Pria dan 1 Wanita: (M, W1), (M, W2) 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Prinsip dasar Menghitung: Kaidah Perkalian Dilakukan dua percobaan Percobaan 1 mempunyai n1 kemungkinan hasil Jika pada setiap percobaan 1 terdapat n2 kemungkinan hasil untuk percobaan 2 Maka akan terdapat n1 × n2 kemungkinan hasil dari 2 percobaan tersebut. 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 1: Turnamen sepak bola dengan 14 tim. Setiap tim dengan 11 pemain. Jika suatu tim dengan salah satu pemainnya dipilih sebagai tim terbaik dan pemain terbaik, berapa banyak pilihan yang mungkin? Memilih tim adalah percobaan 1 dengan 14 cara. Pada tim terpilih dilakukan percobaan 2: pilih pemain dengan 11 cara. Terdapat 14 × 11 = 154 pilihan. 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Prinsip Menghitung Secara Umum Jika terdapat r percobaan Percobaan 1 mempunyai n1 kemungkinan Jika pada setiap hasil pada percobaan 1 terdapat n2 kemungkinan percobaan 2 Dan jika pada setiap n1 × n2 kemungkinan 2 percobaan pertama terdapat n3 kemungkinan percobaan 3 dst Akan terdapat secara total n1 × n2 × ... × nr kemungkinan dari r percobaan tersebut. 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 2: Sebuah kepanitiaan dengan 3 anggota yang masing-masing dipilih dari 5 mahasiswa, 7 dosen, dan 3 karyawan. Memilih satu anggota dari setiap kelompok Maka jumlah susunan panitia yang mungkin dibentuk: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 3: Ada berapa cara berbeda untuk menyusun 6 digit tanda nomor kendaraan dengan komposisi 3 huruf dan 3 angka? Contoh 4: Terdapat berapa banyak fungsi yang dapat didefinisikan pada n titik, jika setiap fungsi hanya mungkin bernilai 0 atau 1? 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 5: Ada berapa cara berbeda untuk menyusun 6 digit tanda nomor kendaraan dengan komposisi 3 huruf dan 3 angka Dengan syarat tidak ada pengulangan huruf dan tidak ada pengulangan angka! 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Permutasi Jika terdapat n obyek. Permutasi dari obyek-obyek tersebut adalah kemungkinan cara berbeda dalam mengurutkan obyek-obyek tersebut: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 6: Pacuan kuda dengan 3 kuda, ada berapa kemungkinan urutan ketika sampai ke garis finish? Kuda A, B, C 6 kemungkinan urutan: (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA) 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 7: Di dalam kelas Teori Peluang terdapat 40 mahasiswa dan 30 mahasiswi Ujian diberikan dan nilai mereka diurutkan/diranking Jika diasumsikan tidak ada nilai yang sama berapa urutan berbeda yang dapat diperoleh? Terdapat 70 orang Urutan berbeda adalah permutasi dari 70 orang tsb: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh (lanjut) Jika nilai ujian diurutkan di antara mahasiswa saja Terdapat urutan berbeda sejumlah: Jika nilai ujian diurutkan di antara mahasiswi saja Terdapat urutan berbeda sejumlah: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 8: Dipunyai 10 buku teks yang akan disusun di rak: 3 buku Matematika, 3 buku Fisika, 2 buku Kimia, dan 2 buku Biologi Ingin disusun sedemikian sehingga buku dengan subyek yang sama berada di dalam satu kelompok Ada berapa susunan berbeda yang mungkin? Terdapat 4 kelompok buku: M, F, K, B Ada 4! cara menyusun kelompok buku tersebut. 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Pada setiap susunan kelompok, terdapat sejumlah cara menyusun buku untuk masing-masing subyek: Matematika: 3! cara Fisika: 3! cara Kimia: 2! cara Biologi: 2! cara Sehingga, dengan memperhitungkan 4! cara menyusun kelompok subyek Terdapat susunan buku sejumlah: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 9: Berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk dari huruf AAB? Misalkan kedua huruf A dapat dibedakan dengan indeks A1 dan A2 Tetapi kenyataannya kedua huruf A tidak dapat dibedakan A1 A2B AAB A2 A1B Masing-masing susunan berasal dari 2 cara menyusun A A1BA2 ABA A2BA1 BA1 A2 BAA BA2 A1 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 10: Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk dari huruf EEPPPR? Terdapat 2 huruf E dan 3 huruf P Jika diasumsikan masing-masing huruf dapat dibedakan maka terdapat: Masing-masing susunan terdiri dari: 2! cara menyusun huruf E dan 3! cara menyusun huruf P. 2 huruf E dan 3 huruf P tidak dapat dibedakan: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Permutasi dengan beberapa Obyek yang sama Misalkan terdapat n obyek, yang terdiri dari: n1 obyek yang sama, n2 obyek yang sama, … nr obyek yang sama Maka jumlah susunan yang berbeda dari obyek-obyek tersebut adalah: 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 11: Sebuah olimpiade Matematika diikuti oleh 4 peserta dari Korea Selatan, 3 dari Kanada, 3 peserta dari Cina, 2 dari Amerika, dan 1 dari Perancis Jika olimpiade tersebut hanya menampilkan nama negara pada urutan hasil lomba, ada berapa urutan yang berbeda? Kasus permutasi dengan beberapa obyek yang tidak dapat dibedakan Total peserta 4+3+3+2+1=13 urutan yang berbeda 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Kombinasi Jumlah cara dalam memilih r obyek dari n obyek. Dari huruf A, B, C, D dan E, akan dipilih 3 huruf Ada berapa kelompok huruf yang dapat dibentuk? Ketika urutan huruf diperhitungkan: Huruf pertama: 5 cara Huruf kedua: 4 cara Huruf ketiga: 3 cara 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Akan tetapi dalam kelompok, urutan huruf tidak relevan Mis: BCE, BEC, CBE, CEB, EBC dan ECB adalah 1 kelompok yang sama Setiap 6 susunan dari 60 susunan sebenarnya membentuk 1 kelompok yang sama Sehingga hanya ada 60/6 kelompok yang berbeda. 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Hasil Umum Ketika urutan dipentingkan, memilih r obyek dari n obyek menghasilkan sejumlah susunan berbeda Ketika urutan tidak lagi dipentingkan maka terdapat: Koefisien Binomial 09/12/2018 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc