Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U Fungsi dua peubah Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U 12/29/2018

Sistem Koordinat y x P(x,y) Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV y z x P(x,y,z) Oktan 1 R2(Bidang) R3(Ruang) 12/29/2018

Permukaan di Ruang (R3) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum : Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa lingkaran Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa lingkaran Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa lingkaran 12/29/2018

Gambar Bola a jari-jari = a, pusat titik asal -a -a a a -a Z a jari-jari = a, pusat titik asal -a -a a y a x -a jari-jari = a, pusat (r,s,t) 12/29/2018

Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunyai bentuk umum , a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Ellips Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Ellips , berupa Ellips Jejak di bidang YOZ, x = 0  12/29/2018

Gambar Elipsoida Z c -a -b b y a -c x 12/29/2018

Permukaan di R3 Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: , a, b, c > 0 , berupa Ellips Jejak di bidang XOY, z = 0  Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa Hiperbolik 12/29/2018

Gambar Hiperbolik Berdaun Satu z 1. Bidang XOY, z = 0 Berupa elips c 2. Bidang XOZ, y = 0 Berupa hiperbolik -a y -b b a 3. Bidang YOZ, x = 0 Berupa hiperbolik x -c 12/29/2018

Permukaan di R3 Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: , a, b, c > 0 , maka terdefinisi saat x  - a atau x  a Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = 0  , tidak ada jejak Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips 12/29/2018

Gambar Hiperbolik Berdaun Dua z 1. Bidang XOY, z = 0 Berupa hiperbolik 2. Bidang XOZ, y = 0 Berupa hiperbolik -a y a 3. Bidang YOZ, x = 0 Tidak ada jejak x 12/29/2018

Permukaan di R3 Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum: Z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) Bidang ZOY (z =0) -a y -b b a x 12/29/2018

Permukaan di R3 Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum: Z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) -a y -b Bidang ZOY (z =0) b a x 12/29/2018

Permukaan di R3 Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) y Bidang ZOY (z =0) x 12/29/2018

Permukaan di R3 Bidang, mempunyai bentuk umum: z Bidang XOZ (y =0) D/C Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) D/B y Bidang ZOY (z =0) x D/A 12/29/2018

Latihan Sketsakan: x2 + y2 = 4 y = x2 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36 z =4 x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3 12/29/2018

Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A  R ( A C R2) (x,y)  z = f(x,y) Contoh: f(x,y) = x2 + 4 y2 f(x,y) = f(x,y) = 12/29/2018

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf) Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 12/29/2018

Contoh (Jawab) y 1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2  R} = {(x,y) R2} x 2. 3 = {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2  0} = {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2  36} 2 x 12/29/2018

Contoh (Jawab) 3. = {(x,y) R2| x(1 – y)  0} = {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)  0 atau x  0 dan (1–y)  0} = {(x,y) R2|x  0 dan y  1 atau x  0 dan y  1} y x 12/29/2018

Latihan Tentukan dan Gambarkan Df dari 1. f(x,y) = 4. f(x,y) = 12/29/2018

Grafik Fungsi Dua Peubah Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y) y Df x Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 12/29/2018

Contoh Gambarkan Grafik f(x,y) = 2 x2 + 3y2 f(x,y) = 3 – x2 – y2 z = 2 x2 + 3y2 f(x,y) = 3 – x2 – y2 Z y Paraboloida eliptik x Z 3 -3 y z = 3 – x2 – y2 z = 3 – (x2 +y2) -3 3 3 x 12/29/2018

Contoh 3. f(x,y) = 9z2 = 36 – 9x2 – 4y2 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 Elipsoida z positif Z x y 4 4. f(x,y) = z2 = 16 –x2 –y2 x2 + y2 + z2 = 16 4 Bola z positif 4 12/29/2018

Contoh grafik fungsi 2 peubah menggunakan aplikasi/sofware 12/29/2018

Kurva Ketinggian z = f(x,y)  z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: 12/29/2018

Contoh aplikasi kurva ketinggian 12/29/2018

. Contoh         1. Gambarkan kurva ketinggian z = k dari f(x,y) = x2+ 2y2 dengan k = 0, 1, 2, 4  Untuk k = 0 x2 +2 y2 = 0  x = 0, y = 0 titik (0, 0) Untuk k = 1  x2 +2 y2 = 1 y  elips Untuk k = 2  x2 +2 y2 = 2 . k=0 k=1  elips x k=2  Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4 k=4  elips 12/29/2018

Contoh         2. Gambarkan kurva ketinggian z = k dari f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4  Untuk k = -2 x – y2 = -2  x = y2 – 2 parabola  Untuk k = 0 x – y2 = 0 y k=-2 k=2  parabola x = y2  Untuk k = 2 x – y2 = 2 x  x = y2 + 2 parabola  k=0 Untuk k = 4 x - y2 = 4 k=4  x = y2 + 4 parabola 12/29/2018

Latihan f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4 Gambarkan kurva ketinggian z = k dari f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4 f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9 f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4 f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4 12/29/2018

Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis Jika ε > 0  > 0  berlaku z Z =f(x,y) L+ε L L–ε y (a,b)  x 12/29/2018

Catatan untuk sembarang ada jika kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui (a,b) dengan nilai berbeda untuk masing-masing kurva, maka dikatakan tidak ada. . (a,b) 12/29/2018

Contoh Buktikan bahwa limit berikut tidak ada Jawab terdefinisi di Df = R2 – {(0,0)} Di sepanjang garis y = 0, kecuali x = 0, maka nilai f adalah Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah 12/29/2018

Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y = x, maka nilai f adalah Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah Karena maka tidak ada 12/29/2018

Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. 3. 2. 12/29/2018

Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. iii. Teorema: 1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asalkan q(x,y) ≠ 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka f0g kontinu di (a,b), didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 12/29/2018

Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(x,y) = Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x 2. f(x,y) = Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom)  g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang 12/29/2018

Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut 12/29/2018

Contoh: Tentukan fx dan fy 3. 1. Jawab Jawab fx(x,y) = – ln(sinx) fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2 fy(x,y) = ln(siny) fy(x,y) = x3 + 8 xy 2. Jawab fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2) fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2) 12/29/2018

Latihan Tentukan fx dan fy 1. 2. Tentukan fx, fy dan fz 1. 2. 12/29/2018

Turunan Parsial Kedua 12/29/2018

Contoh Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab fx(x,y) = y3 + 2xy3 fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2 fxx(x,y) = 2y3 fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2 fyy(x,y) = 6xy + 6x2y fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2 12/29/2018

Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3) Jawab fx(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3) fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3) – xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3) fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) +(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3) –xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) 12/29/2018

Latihan Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y 2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3) 3. f(x,y) = tan-1(y2/x) 4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy) 12/29/2018

Arti Geometri Turunan Parsial z x y s Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. (a, b) y konstan 12/29/2018

Arti Geometri Turunan Pertama (2) z Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y. s y (a, b) x x konstan 12/29/2018

12/29/2018

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah Sehingga didapat . Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t 12/29/2018

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah Sehingga didapat . Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2)) yaitu 3/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t 12/29/2018

Latihan 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik(1, 2, (11/3)) Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik(1, 2, (11/3)) 4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5(3/2)) 12/29/2018

Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D  R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif 12/29/2018

Contoh Tentukan dan dari Jawab   Sehingga diperoleh: 12/29/2018

Latihan I. Tentukan dari 1. 3. 2. 4. 5. 6. II. Tentukan di titik yang diberikan 1. di P (– 2,3) 2. di P (– 1, 1) 3. di P (2, –1) 12/29/2018

Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka 12/29/2018

Contoh 1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan Jawab: = 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t) = 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t) = 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t = 6t11+6 t11 = 12 t11 12/29/2018

Contoh Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s +7t dan y = 5st, tentukan Jawab: = 6x.7 + (–2y) 5s = 42 (2s +7t) – 50 s2t = 6x.2 + (–2y) 5 t = 12 (2s+7t) – 50 st2 12/29/2018

Latihan 1. Tentukan (dalam t) a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t 2. Tentukan (dalam t dan s) a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t b. w = ; x = s sin t, y = t sin s 12/29/2018

Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a,b) pada arah vektor satuan adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : atau D f(a, b) = fx(a, b) u1 + fy(a, b) u2 Perhatikan bahwa Sehingga, turunan berarah akan bernilai maksimum ( = 0) jika Sebaliknya akan minimum jika 12/29/2018

Turunan parsial Turunan berarah 12/29/2018

Contoh   Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik P(2,1) dalam arah vektor Jawab: Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a  fx (x,y)= 12 x2 y fx (2, 1)= 12.22.1 =48  fy (x,y)= 4 x3 fx (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga =48 . (4/5) + 32 . (3/5) = 288/5 12/29/2018

Contoh Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada titik P(1,2, /2) dalam arah vektor Jawab: Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a  fx (x,y,z)= y sinz fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2  fy (x,y,z)= x sinz fx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1  fz (x,y,z)= xy cosz fz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0 12/29/2018

Contoh (Lanjutan) Sehingga =2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3) = 4/3 12/29/2018

Latihan Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + 3 j d. f(x,y) = x/(x-y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y,z) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang) paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0) c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1) 12/29/2018

Latihan (lanjutan) Misal . Tentukan sehingga Jika , Tentukan sehingga Diketahui jika dan jika a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0) 12/29/2018

Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k ( z = f(x,y) sama dengan F(x,y,z) = f(x,y) – z = 0 ). Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada 12/29/2018

Bidang Singgung Teorema: Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : Fx(a,b,c) (x – a) + Fy(a,b,c) (y – b) + Fz(a,b,c) (z – c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) – 1 (z – c) = 0 (c = f(a,b)) z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) 12/29/2018

Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46 12/29/2018

Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1 + 2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 12/29/2018

Contoh   2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan z = f(x,y) = x2 + 2xy – 3xy2 + 2 di titik (1, 2, -5) Jawab:   Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah (z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) –6(x – 1) –10(y – 2) – (z + 5) = 0 6x + 10y + z = 21 12/29/2018

Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1 – 6t, y = 2 – 10t , z = –5 – t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 12/29/2018

Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = ex cos z di titik (1, e, 0) c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. Z = 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y dimana bidang singgungnya mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2 + 2y2 + 3z2 = 12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x =1 + 2t, y = 3 + 8t, z = 2 – 6t 12/29/2018

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan (x0,y0)  Df, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N  S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0). 12/29/2018

Titik pelana 12/29/2018

Di mana nilai ekstrim muncul? Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas Df Titik Stasioner  (bidang singgung datar) Titik Singular  titik dalam S ketika f tidak dapat didiferensialkan 12/29/2018

Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0) dan Jika maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D > 0 dan 2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D > 0 dan 3. f(x0,y0) titik pelana jika D < 0 4. Jika D = 0, tidak dapat ditarik kesimpulan 12/29/2018

Contoh    1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f(x,y) = 2x4–x2+3y2 Jawab fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6y fxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu   8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½  6y =0 y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 12/29/2018

Contoh (lanjutan) fxx fyy fxy D Keterangan (0,0) – 2 6 –12 Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: fxx fyy fxy D Keterangan (0,0) – 2 6 –12 Titik pelana (½, 0) 4 24 Titik Minimum (-½, 0) Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 12/29/2018

Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2  1} Jawab fx(x,y) = 2x fy(x,y) = – 2y fxx(x,y) = 2 fyy(x,y) = –2 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos2 t – sin2t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 12/29/2018

Contoh (lanjutan)            Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:  f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0   sin2t= 0 2t= 0, , 2, 3 t= 0, /2, , 3/2   Untuk t = 0 x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2   Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0   Untuk t =  x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2   Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 12/29/2018

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = x3+y3-6xy b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2 c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1 d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2  1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y  1} 12/29/2018

Metode Lagrange Untuk mencari nilai ekstrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ekstrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut : g (x, y) = 0 Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0  sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y  Df sepanjang g(x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung  garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian dan kurva kendala, maka 12/29/2018

12/29/2018

Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis,  pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0 dengan (x0,y0) titik kritis,  pengali langrange 12/29/2018

Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x2 + 2y2 pada lingkaran x2+y2=1 Jawab: Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut dan yaitu: 2x =  2x …….(1) 4y =  2y …….(2) x2+y2 = 1 ……..(3) 12/29/2018

Contoh (lanjutan)     Untuk x  0 dari (1), di dapat  = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1  x = ± 1 Untuk x = 0 dari (1), di dapat dari (3)  y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)  Untuk (1,0) f(1, 0) = 1, Untuk (-1,0)  f(-1,0) = 1  Untuk (0,1) f(0, 1) = 2,  Untuk (0,-1) f(0,-1) = 2 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (0,1) dan (0,-1), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (1,0) dan (-1,0) 12/29/2018

Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1 Jawab: Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut , dan yaitu: 1 = 2x …………….(1) 2 = 2y +  …….(2) 3 =  ……………….(3) x2+y2 = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5) 12/29/2018

Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat  = ± ½. Untuk  = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk  = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 12/29/2018

Latihan Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0 f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1 f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1 f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12 12/29/2018

Pustaka Purcell, Varberg, Rigdon. Calculus 9th edition. Prentice-Hall, Inc. Stewart, James. Calculus 7th edition. 12/29/2018