Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut 1/1/2019

Contoh: Tentukan fx dan fy 1. Jawab fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2 fy(x,y) = x3 + 8 xy 2. Jawab fx(x,y) = –2xy cos(x2 + y2) fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2) 1/1/2019

Turunan Parsial Kedua 1/1/2019

Contoh Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab fx(x,y) = y3 + 2xy3 fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2 fxx(x,y) = 2y3 fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2 fyy(x,y) = 6xy + 6x2y fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2 1/1/2019

Latihan Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = sin 2x cos 3y 2. f(x,y) = x/y2 - y/x2 3. f(x,y) = x yu 4. f(x,y) =exy 1/1/2019

Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terdeferensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka 1/1/2019

Contoh 1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan Jawab: = 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t) = 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t) = 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t = 6t11+6 t11 = 12 t11 1/1/2019

Contoh Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, tentukan dan Jawab: = 6x. 7 + (–2y) 5 s = 42 (2s +7t) – 50 s2t = 6x. 2 + (–2y) 5 t = 12 (2s +7t) – 50 s t2 1/1/2019

Latihan 1. Tentukan (dalam t) ; x = t cos t, y = t sin t ; pada t = /2 b. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t 2. Tentukan (dalam u dan v) z = cos (y/x) ; x = 3u2+2v ; y = 4u – 2v 1/1/2019

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan (x0,y0)  Df, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Syarat perlu untuk mencapai max & min adalah : fx = 0 , fx = 0 1/1/2019

Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum jika D>0 dan 2. f(x0,y0) nilai minimum jika D>0 dan 3. f(x0,y0) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan 1/1/2019

Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f(x,y) = x2–4y2 +2xy + 28 Jawab fx(x,y) = 2x + 2y fy(x,y) = 8y + 2x fxx(x,y) = 2 fyy(x,y) = 8 fxy(x,y) = 2 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu 2x + 2y = 0 2x + 8y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0) 1/1/2019

Contoh (lanjutan) Menentukan nilai ekstrim : Karena nilai Maka titik tersebut merupakan titik ekstrim minimum, dengan nilai : f(x,y) min = x2–4y2 +2xy + 28 = 02–4(0)2 +2(0)(0) + 28 = 28 1/1/2019

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = 48 - 4x2 – 4xy - 2y2+ 16x + 12y b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 3y2 1/1/2019

Turunan Fungsi Implisit Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi implisit dua variabel, dilambangkan dengan F(x, y, z). Untuk mencari turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit dapat menggunakan cara berikut : Turunan parsial terhadap x, Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z ,dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan 1/1/2019

Turunan Fungsi Implisit Turunan parsial terhadap y, Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z ,dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan 1/1/2019

Contoh Tentukan dan dari xy + xz + yz = 5 Jawab: xy + xz + yz = 5 1/1/2019

Contoh 2. Jawab: Turunkan pers. yang diberikan thd x, dengan meninjau u dan v sbg. Fungsi dari x dan y, maka: Dengan mengeliminasi pers. (1) dan (2), maka diperoleh: 1/1/2019

Turunan Parsial dgn Menggunakan Jacobian Jika F(u,v) dan G(u,v) terdiferensial, maka determinan Jacobian dari F dan G terhadap u dan v adalah determinan funfsional yang didefinisikan oleh : Demikian juga dengan determinan orde 3 : 1/1/2019

Turunan Parsial dgn Menggunakan Jacobian Jacobian seringkali terbukti sangan berguna di dalam menentukan turunan fungsi implisit. Misal diberikan persamaan – persamaan sebagai berikut : F(x,y,u,v) = 0 G(x,y,u,v) = 0 Dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x dan y, maka: 1/1/2019