Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo DETERMINAN Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo

Pengertian Determinan Determinan : nilai yang diperoleh dari matriks bujur sangkar, nilainya bisa + (positif), 0 (nol), - (negatif) Determinan dari matriks A dinyatakan dengan |A|

Perhitungan Determinan Matriks 2x2 5 2 1 5 2 1 A = |A| = = (4x1) – (2x5) = -6 Matriks 3x3 5 0 8 4 6 7 1 5 0 8 4 6 7 1 5 8 6 7 A = |A| = |A| = (2x8x1 + 5x4x6 + 0x3x7) – (6x8x0 + 7x4x2 + 1x3x5) = 136 -71 = 65 |A| |A|

Penyelesaian Determinan (La Place) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |A| = a22 a23 a32 a33 a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32 |A| = a11 - a12 + a13 M11 M12 M13 Mij : minor dari unsur aij yang diperoleh dengan cara menutup baris ke i dan kolom ke j dari determinan |A|

Lanjutan cara La Place… Dalam notasi kofaktor menjadi : |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 ………. Dimana: Aij = (-1)i+j Mij Penyelesaian dalam notasi minor : |A| = a11M11 – a12M12 + a13M13 ……… Cara penyelesaian La Place berlaku untuk determinan berdimensi berapapun

Contoh Soal : 5 0 8 4 6 7 1 |A| = 8 4 7 1 3 4 6 1 3 8 6 7 |A| = 2 - 5 + 0 |A| = 2 (-20) – 5 (-21) + 0 (-27) = -40 + 105 + 0 = 65 |A| |A| 5 0 2 8 4 3 7 1 4 1 0 3 4 |A| =

5 0 2 8 4 3 7 1 4 1 0 3 4 Diketahui: |A| = Selesaikan dengan metode La Place ! |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 |A| = a11(-1)2M11 + a12(-1)3M12 + a13(-1)4M13 + a14(-1)5M14 8 4 3 7 1 4 0 3 4 3 4 3 6 1 4 1 3 4 3 8 3 6 7 4 1 0 4 3 8 4 6 7 1 1 0 3 |A| = 2(1) + 5(-1) + 0(1) + 2(-1) |A| = 2(-113) – 5(-53) + 0 (-97) – 2(-101) = 241

Cara 2 (La Place) 5 0 2 8 4 3 7 1 4 1 0 3 4 |A| = Mengubah elemen a23 = 4 dan a43 = 3 menjadi nol Caranya : - semua elemen baris kedua dikurangi 4x elemen baris ketiga - semua elemen baris keempat dikurangi 3x elemen baris ketiga 2 5 0 2 -21 -20 0 -13 6 7 1 4 -17 -21 0 -8 = a13A13 + a23A23 + a33A33 + a43A43 |A| = 0 0 0 |A| = a33.A33 = 1. (-1)3+3. |M33| |A| = 1. |M33|

2 5 2 -21 -20 -13 -17 -21 -8 |A| = 1. |A| = 1. (320 + 1105 + 882 – 680 – 546 – 840) = 1 . 241 = 241 |A| |A|

Cara CHI’OS a11 a12 a21 a22 a11 a13 a21 a23 a11 a14 a21 a24 5 0 2 5 0 2 8 4 3 7 1 4 1 0 3 4 1 a11(n-2) |A| = = a11 a12 a31 a32 a11 a13 a31 a33 a11 a14 a31 a34 a11 a12 a41 a42 a11 a13 a41 a43 a11 a14 a41 a44 2 5 3 8 2 0 3 4 2 2 3 3 1 8 0 -16 2 -4 -5 6 6 1 2(4-2) 1 4 |A| = = 2 5 6 7 2 0 6 1 2 2 6 4 2 5 1 0 2 0 1 3 2 2 1 4 1 8 -16 2 1 0 -16 -4 1 1 4 (1)3-2 1 4 130 -4 46 6 = = 241 = 1 8 -5 6 1 0 -5 6

Sifat-sifat Determinan 1. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama. 2 2 2 2 2 |A| = = 8 + 8 + 8 – 8 – 8 – 8 = 0 2. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur-unsurnya sama 6 5 1 8 4 2 6 5 |A| = = 80 + 48 + 30 – 80 – 30 – 48 = 0

3. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur-unsurnya sebanding 6 5 1 8 4 4 12 10 |A| = = 160+96+60–160–60–96 = 0 4. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsurnya pada salah satu baris atau kolom semuanya nol 6 5 1 3 4 0 0 0 |A| = = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 5. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur-unsur diagonalnya 0 0 0 3 0 0 0 4 |A| = = 2.3.4 = 24

ADJOIN MATRIKS Metode untuk menghitung invers matriks A |M11| -|M12| A-1 = I A-1 = 1 . AkT Ak = -|M21| |M22| -|M23| |A| |M31| -|M32| |M33| Contoh : Hitunglah invers matriks di bawah ini 4 3 8 3 - 1 3 3 3 1 4 3 8 3 1 1 4 3 3 8 3 |A| = Ak = 3 1 8 3 2 1 3 3 2 1 1 3 - - |A| = -10 3 1 4 3 2 1 1 3 2 3 1 4 - -12 6 -4 -1 3 -7 5 -5 5 Ak =

-12 6 -4 -1 3 -7 5 -5 5 -12 -1 5 6 3 -5 -4 -7 5 Ak = AkT = -12 -1 5 6 3 -5 -4 -7 5 Sehingga A-1 = 1 . AkT = 1 . |A| -10 1,2 0,1 -0,5 -0,6 -0,3 0,5 0,4 0,7 -0,5 A-1 = Hasil kali A . A-1 = I 3 1 1 4 3 3 8 3 1,2 0,1 -0,5 -0,6 -0,3 0,5 0,4 0,7 -0,5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x =