POLYNOMIAL (suku banyak)

Homework: Dikerjakan secara individual dalam kertas. Dikumpulkan 1 minggu sekali di setiap hari Senin. Posttest: Akan ada di setiap akhir sesi.

A Polynomial looks like this:   Polinomial berasal dari kata poly- “banyak” dan –nomial “suku”... Jadi artinya adalah “suku banyak”

Bentuk umum polynomial: anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0 Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan bulat non-negative.

A Polynomial can have:     Konstanta sering diistilahkan sebagai suku tetap.

Polynomial or not?

These are polynomials:  

These are not polynomials:  

But these are allowed  

Monomial, Binomial, Trinomial Can also have lots and lots of terms, but not an infinite number of terms

Variables Polinomial boleh tidak memiliki variabel sama sekali Contoh: 15 Atau satu variabel Contoh: 𝑥 4 −2 𝑥 2 +𝑥 Atau dua atau lebih variabel Contoh: 𝑥 𝑦 3 −5 𝑥 2 𝑧

Standard Form   DERAJAT adalah pangkat tertinggi untuk suku banyak dengan satu variabel

Examples  

Examples  

Examples

Operasi Aljabar pada Polinomial Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian

1) Penjumlahan dan Pengurangan polinomial Penjumlahan dan pengurangan pada polynomial dapat dilakukan dengan menjumlah atau mengurang antar koefisien suku sejenisnya. Examples 8x + 3x -12 = 11x -12 (6x3 – 8x2 + 2x ) – (2x2 + 3x) = 6x3 – 8x2 + 2x –2x2 - 3x = 6x3 – 8x2–2x2 + 2x - 3x = 6x3 – 10x2 - x

2) Perkalian polinomial Examples (2x2 – 3x – 6)(3x2 + 2x + 1) = 6x4 + 4x3 + 2x2 - 9x3 – 6x2 - 3x – 18x2 -12x – 6 = 6x4 - 5x3 - 22x2 – 15x -6

Kesamaan dan Identitas Dua Suku Banyak Suku banyak f(x) dan suku banyak g(x) dikatakan sama, apabila kedua suku banyak itu mempunyai nilai sama untuk variabel x pada bilangan real. Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) dapat ditulis f(x)  g(x). Examples Tentukan nilai t yang memenuhi kesamaan: x3 – 7x + 6  x3 - 7x + 6t Jawab: x3 – 7x + 6  x3 - 7x + 6t Karena keduanya memiliki kesamaan, ambil salah satu suku yang bersesuaian: 6 = 6t t = 1

Nilai Suku Banyak 1. Cara Substitusi 2. Cara Skema Horner

Nilai Suku Banyak 1. Cara Substitusi Nilai polinomial f(x) untuk x = k sama dengan nilai fungsi f(x) untuk x = k yaitu f(k). Nilai f(k) dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = k seperti berikut.

2. Cara Skema Horner Langkah tersebut dapat ditunjukkan dengan cara skema Horner berikut.

Nilai Suku Banyak Example Diketahui f(x) = 3x2 + 7x + 1. Hitunglah nilai suku banyak itu untuk x = 0 dan x =2! Jawab: Cara 1: Substitusi Suku banyak: f(x) = 3x2 + 7x + 1. Nilai suku banyak untuk x = 0, yaitu: f(0) = 3 . (0)2 + 7 . 0 + 1 = 1. Nilai suku banyak untuk x = 2, yaitu: f(2) = 3 . (2)2 + 7 . 2 + 1 = 27.

Cara 2: metode horner (agar diberikan contoh untuk x =2) 3 7 1 2 6 26 + 13 27 Tanda: Berarti kalikan dengan k

Latihan: Tentukan nilai a agar suku banyak f(x) = x3 - ax2 + 3x + 2 mempunyai nilai -3 untuk x =1. Jawab: f(x) = x3 - ax2 + 3x + 2. f(1) = - 3 13 – a (1)2 + 3(1) + 2 = -3 1 - a + 3 + 2 = -3 6 –a = -3 -a = -3 -6 -a = -9 a = 9

3) Pembagian polinomial Ingat kembali pembagian bilangan: 5 : 3 = 1 sisa 2, dapat dituliskan 5 = 3 x 1 + 2 6 : 2 = 3 sisa 0, dapat dituliskan 6 = 2 x 3 + 0

Bentuk umum pembagian suku banyak P(x) dengan Q(x) menghasilkan H(x) dan bersisa S(x) dapat ditulis : Hasil bagi Sisa P(x) = Q(x).H(x) + S(x) atau yang dibagi pembagi Note : Jumlah derajat tertinggi Q(x) dan H(x) harus sama dengan derajat P(x) Derajat S(x) satu kurangnya dari derajat pembagi

Teknik Pembagian Suku Banyak : Pembagian Bersusun Aturan Sintetik (Metode Horner) Identitas (Koefisien)

1) Pembagian Bersusun Ingat kembali: Hasil Bagi Yang dibagi Pembagi Remainder

Contoh 1 . Tentukan hasil bagi dan sisa dari: = ... Cek = = = Hasil baginya = x + 4, sisanya = 0.

Contoh 2 . Tentukan hasil bagi dan sisa dari: = ... Cek = = = Hasil baginya = x3 – 6, sisanya = 0.

Contoh 3. Tentukan hasil bagi dan sisa dari: = ... Hasil baginya = 5y + 2, sisanya = -10y + 11.

2) Metode Horner atau Aturan Pembagian Sintetik P(x) = Q(x).H(x) + S(x) a. Pembagian Polinomial oleh (x – k) Pembagian suku banyak P(x) oleh (x – k) dapat ditulis dengan P(x) = (x – k)H(x) + S Keterangan: P(x) sukubanyak yang dibagi, (x – k) adalah pembagi, H(x) adalah hasil pembagian, dan S adalah sisa pembagian

Contoh Pembagian Polinomial oleh (x – k) Tentukan hasil bagi dan sisa dari polinomial f(x) = 2x3 – 3x2 + x + 6 untuk x + 2 menggunakan cara skema Horner berikut. x + 2 = 0 x = -2 Hasil baginya: 2x2 -7x + 15 Sisa = -24

b. Pembagian Polinomial oleh (ax + b) Jika polinomial f(x) dibagi (x – k) memberikan hasil bagi h(x) dan sisa s, maka diperoleh hubungan: ax + b = 0 x = -b/a Hasil bagi suku banyak = Hasil bagi dari metode horner masih dibagi dengan a

Contoh Pembagian Polinomial oleh (ax + b) Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1! 2x - 1= 0 x = 1/2 Jawab: 2 -7 11 5 1 -3 4 + 1/2 2 -6 8 9 (sisa) Hasil bagi suku banyak = Hasil bagi dari metode horner masih dibagi dengan nilai a = (2x3- 6x + 8) : 2 = x3- 3x+4 (hasil bagi) 2x - 1 sebagai pembagi Jadi, hasil baginya = x3- 3x+4 dan sisanya = -9.

c. Pembagian Polinomial oleh (ax2 + bx + c) Pembagian Polinomial oleh (ax2 + bx + c) akan dibahas menggunakan teorema sesi pada sub topik selanjutnya (teorema sisa).

Contoh Soal

Teorema Sisa Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a), sisanya s = f(a) dibagi (ax – b), sisanya s = f(b/a) dibagi (x – a)(x – b), sisanya s(x) = px + q dengan f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q. Ingat : derajat sisa satu kurangnya dari derajat pembagi.

1) Pembagian dengan (x – a) Contoh 1: Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi x + 1 atau dibagi x – (-1) Jawab: sisanya adalah P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6 = - 2 – 1 – 7 + 6 = -4

Contoh 2: Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2 Jawab: Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya, yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8 = 6

hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner: dengan menggunakan bagan tapi untuk menentukan hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner: dengan menggunakan bagan seperti berikut:

x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2 1 4 -5 -8 koefisien Polinum 2 1 2 2 12 14 1 6 7 6 Sisanya 6 Koefisien hsl bagi Jadi hasil baginya: x2 + 6x + 7 dan sisanya = 6 artinya dikali 2

2) Pembagian dengan (ax + b) Contoh 3: Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1

Jawab: (2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1) Sisa: P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5 = 2.⅛ - 7.¼ + 5½ + 5 = ¼ - 1¾ + 5½ + 5 = 9 2x – 1 = 0 x =1/2

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + S Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : H(x) Sisa : S Kita gunakan pembagian horner

2 -7 11 5 koefisien Polinom 1 -3 4 2 -6 8 9 ½ ½ Sisanya 9 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x = 2 -7 11 5 koefisien Polinom + ½ 1 -3 4 ½ 2 -6 8 9 Sisanya 9 Koefisien hasil bagi Sehingga dapat ditulis : artinya dikali ½

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : x2 – 3x + 4 Sisa : 9

Contoh 4: Nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x – 1 adalah…. Jawab: habis dibagi → S = 0 P(½) = 0 4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0

P(½) = 0 4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0 ¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0 ¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4) m = -1 + 6 – 8 m = -3 Jadi nilai m = -3

3) Pembagian dengan (x – a)(x – b) Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) berarti: P(a) = S(a) dan P(b) = S(b) Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q Pembagian ini juga berlaku untuk pembagian ax2 + bx +c

Contoh 1: Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2), sisanya sama dengan….

Jawab: Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x) Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1 misal: sisanya px + q

sehingga bentuk pembagian ditulis: x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q Dibagi (x + 1) bersisa P(-1) dibagi (x – 2) bersisa P(2)

P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8 P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32 P(x) = px + q P(-1) = -p + q = -8 P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24  p = -8

p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8  q = -16 Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Contoh 2: Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa….

Jawab: Misal sisanya: S(x) = ax + b P(x): (x + 2)  S(-2) = -13  -2a + b = -13 P(x): (x – 3) S(3) = 7  3a + b = 7 -5a = -20 a = 4

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13 -8 + b = -13 b = -5 Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

Contoh 3: Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=….

Jawab : P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b P(x) : (x2 – 1)  sisa = 6x + 5 Pembagi : (x2 -1) = (x + 1)(x – 1) Maka: P(x):(x + 1)  sisa =P(-1) 2 - a - 3 - 5 + b = 6(-1) + 5 -a + b – 6 = – 6 + 5 -a + b = 5….(1)

P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b P(x) : x2 - 1  sisa = 6x + 5 Pembagi : x2 -1 = (x+1) (x-1) Maka: P(x):(x – 1)  sisa =P(1) 2 + a – 3 + 5 + b = 6(1) + 5 a + b + 4 = 6 + 3 – 2 a + b = 7….(2)

b = 6 disubstitusi ke a + b = 7 a + 6 = 7 a = 1 Jadi a.b = 1.6 = 6

Contoh 4: Jika suku banyak 2x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….

Jawab: 2x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -1 -1 – a + 7 = 5 - pa

2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 = 4 Karena sisanya sama, Berarti 5 – p = 4 - p = 4 – 5 Jadi p = 1

Contoh 5: Jika suku banyak x3 – 7x + 6 dan sukubanyak x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….

Jawab: x3 – 7x + 6 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6 x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24 Sisanya sama berarti: a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24

a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24 a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0 a2 – 3a – 18 = 0 (a + 3)(a – 6) = 0 a = -3 atau a = 6 Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

Contoh 6: Jika suku banyak P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=….

Jawab : P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : (x2 – 4)  sisa = x + 23 Pembagi : (x2 – 4) = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x + 2)  sisa =P(-2) -16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23 4a + 2b = 21 + 13 4a + 2b = 34….(1)

P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : x2 - 4  sisa = x + 23 Pembagi : x2 -1 = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x – 2)  sisa =P(2) 16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23 4a – 2b + 19 = 25 4a – 2b = 25 – 19 4a – 2b = 6….(2)

a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6 20 – 2b = 6 - 2b = -14  b = 7 Jadi a + b = 5 + 7 = 12 +

SOAL : Tentukan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) jika : 3x4 – 2x2 + 5x -12 dibagi dengan 3x -1 2x3 + 4x2 – 2x – 4 dibagi oleh x – 4 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (x2 – x – 6) 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (2x – 1)(x + 2) 2x4 + 4x3 – 3x – 4 dibagi oleh (2x – 1)(2x – 4) x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x 2x3 – 2x2 – 4x + 2 dibagi oleh x2 – x – 1 4x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x + 2 -2x4 + x3 + 2x dibagi oleh x3 – x2 + 2 x4 + x3 – 2x + 2 dibagi oleh 2x2 – x + 2

Teorema Faktor TEOREMA : (x – a) merupakan faktor dari f(x) ⇔ f(a) = 0 Jika suku banyak f(x) dibagi oleh p(x) memberikan sisa adalah nol maka p(x) disebut faktor dari f(x). TEOREMA : (x – a) merupakan faktor dari f(x) ⇔ f(a) = 0 Dengan kata lain a. Jika f(x) habis dibagi dengan (x – a) maka sisanya = 0. Jika (x – a) faktor dari f(a) maka nilai f(a) = 0 atau sisanya = 0. Jika f(a) = 0 maka (x – a) faktor dari f(a).

The remainders of 0 indicate that (x + 2) and (x – 1) are factors. Ex : Show that (x + 2) and (x – 1) are factors of P(x) = 2x 3 + x2 – 5x + 2. – 2 2 1 – 5 2 1 2 – 3 1 – 4 6 – 2 2 – 1 2 – 3 1 2 – 1 The remainders of 0 indicate that (x + 2) and (x – 1) are factors. The complete factorization of P is (x + 2)(x – 1)(2x – 1). Factor Theorem

Tentukan nilai k agar (x – 1) merupakan faktor dari x3 + 4x2 – kx + 7 Soal : Tentukan nilai k agar (x – 1) merupakan faktor dari x3 + 4x2 – kx + 7 Tentukan nilai k jika x – y merupakan faktor dari suku banyak f(x,y) = x3 – 5x2y + kx2y – x + y Factor Theorem