MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Matematika Teknik 2 Dosen : Yogi Ramadhani, S.T., ___
Advertisements

WINDA APRILIA AZIZAH ( ) Pendidikan Matematika
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Sistem Persamaan Diferensial
Sistem Persamaan Linier Penulisan Dalam Bentuk Matriks
Matematika Dasar Oleh Ir. Dra. Wartini, M.Pd.
Penulisan Dalam Bentuk Matriks Eliminasi Gauss
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)
Sistem Persamaan Linier
BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si
PERSAMAAN DIFFRENSIAL
Persamaan Differensial Linier Dengan Koefisien Variabel
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Pertemuan VIII Kalkulus I 3 sks.
Memecahkan Relasi Recurrence
Persamaan Differensial Biasa #1
KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI : 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFRENSIAL PARSIAL
METODE DERET PANGKAT.
TEOREMA INTEGRAL TENTU
PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT.
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Metode Numerik Teknik Sipil
5.6. Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Aplikasi Matriks Pertemuan 25 Matakuliah: J0174/Matematika I Tahun: 2008.
6. INTEGRAL.
ALJABAR LINIER WEEK 1. PENDAHULUAN
MATEMATIKA DASAR I HIMPUNAN BILANGAN REAL
Persamaan Diferensial Biasa
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan Diverensial
PERTIDAKSAMAAN Inne Novita Sari, M.Si.
ALJABAR LINEAR BASIS DAN DIMENSI
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier dan Matriks Jilid 2
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Transformasi Laplace Matematika Teknik II.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian.
Persamaan Kuadrat Menyelesaikan Persamaan Kuadrat : memfaktorkan,
SMK NEGERI 4 SURAKARTA (RSBI)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PERTIDAKSAMAAN.
PERTIDAKSAMAAN.
BAB 6 PERTIDAKSAMAAN.
Pertemuan 1 Sistem Bilangan Real Irayanti Adriant, S.Si, MT.
BAB II PERSAMAAN DIFFRENSIAL
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 4: Fungsi Linier Dosen Pengampu MK:
INTEGRAL LIPAT DUA: Bentuk Umum :
INTEGRAL YUSRON SUGIARTO.
Persamaan Linear Satu Variabel
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
Matematika Pertemuan 14 Matakuliah : D0024/Matematika Industri II
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 4: Fungsi Linier Dosen Pengampu MK:
PERTIDAKSAMAAN OLEH Ganda satria NPM :
BAB VII PERSAMAAN DIFFRENSIAL SIMULTAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER
FUNGSI DAN GRAFIKNYA.
Persamaan Diferensial Bernoulli. Persamaan diferensial (1.14) merupakan persamaan diferensial linear orde-1 (dalam variabel v), dan dapat diselesaikan.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Matematika III ALFITH, S.Pd, M.Pd
Matematika Elektro Semester Ganjil 2004/2005
INTEGRAL.
INTEGRAL.
Persamaan Diferensial Linear Orde-1
IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI
Transcript presentasi:

MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

Teori PDL PDL Koef. Konstan PDL Koef. Variabel Konsep Penyelesaian PDL

Bentuk Persamaan PDL Bentuk persamaan differensial linear ORDE SATU

Solusi PDL Dengan Faktor Integral Cara 1 Contoh: Selesaikan:

Cara 2 Cara 2 dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integral : Contoh: Selesaikan:

Contoh 2 untuk cara 2: Cari penyelesaian untuk persamaan:

Persamaan Bernoulli Bentuk PD Bernoulli Dimana n adalah bilangan real dan Bagi pers. dengan y n Subtitusi Sehingga persamaan Bernoulli akan menjadi persamaan differensial linear.

Contoh Selesaikan persamaan Bernoulli berikut:

PDL Orde n Bentuk Umum PDL Orde n dimana g(x) dan koefisien b j (x), (j=0,1,2, …, n) tergantung hanya pada variable x. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada y atau pada turunan y. Suatu persamaan differensial yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk ini dinamakan tak linear.

Catatan jika, maka PDL orde n disebut homogen atau komplementer atau tereduksi. Tetapi jika tidak, disebut tak homogen atau lengkap. Suatu persamaan differensial memiliki koefisien-koefisien konstan jika seluruh koefisien b j (x) adalah konstanta, jika ada satu atau lebih koefisien tidak konstan, maka memiliki koefisien variable.

Teorema 1 Perhatikan soal nilai awal yang diberikan oleh persamaan linear orde n dan n kondisi-kondisi awal.,,, …, Jika g(x) dan b j (x) (j=0,1,2, …, n) adalah kontinyu dalam suatu interval I yang mengandung x 0 dan jika b j (x)≠0 dalam I, maka soal nilai awal yang diberikan oleh PDL orde n dan pers. diatas memiliki solusi unik (hanya satu) yang didefinisikan di seluruh I.

Ketika kondisi-kondisi pada b n (x) dalam teorema 1 berlaku, kita dapat membagi PDL Orde n dengan b n (x) untuk memperoleh: Dimana: (j=0,1,2,…,n) dan

Operator Differensial Linier Operator Differensial Linier didefinisiakn dengan L(y) dimana a i (x) (i=0,1,2,…,n) adalah kontinyu pada interval yang dinginkan. Maka persamaan PDL orde n dapat ditulis: untuk persamaan differensial homogen linear dapat dituliskan:

Solusi Untuk Independen Secara Linear Suatu himpunan fungsi adalah dependen secara linear pada a ≤ x ≤ b jika terdapat konstanta tidak semuanya nol, sehingga: berlaku pada selang a ≤ x ≤ b. Jika tidak demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas (independen) linear.

Teorema 2 Persamaan differensial homogen linear orde n L(y)=0 selalu memiliki n solusi yang independen secara linear jika mewakili solusi-solusi tersebut, maka solusi umum L(y)=0 adalah: dimana c 1, c 2, …, c n melambangkan konstanta- konstanta sembarang.

Ketidakbebasan linear dan Determinan Wronskian Suatu himpunan n fungsi dikatakan tak bebas linear pada suatu selang jika ada n konstanta c 1,c 2, …, c n yang tidak semua nol, sehingga kesamaan berlaku pada selang itu. Jika tidk demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas linear

Wronskian Wronskian dari suatu himpunan fungsi pada interval a ≤ x ≤ b, yang memiliki sifat bahwa setiap fungsi memiliki n-1 turunan pada interval ini adalah determinan.

Teorema 3 Jika Wronskian di suatu himpunan yang terdiri dari n fungsi yang didefinisikan pada interval a≤x≤b adalah bukan nol untuk paling sedikit satu titik pada interval tersebut, maka himpunan fungsi tersebut adalah independen secara linear. Jika Wronskian-nya secara identik nol pada interval tersebut dan jika setiap fungsi merupakan solusi untuk persamaan differensial linear yang sama, maka himpunan fungsi tersebut dependen secara linear.

Perhatian!!! Teorema 3 tidak memberikan definisi untuk kasus ketika Wronskian secara identik nol dan tidak diketahui apakah fungsi-fungsinya merupakan solusi-solusi untuk persamaan differensial yang sama. Dalam kasus demikian, kita harus menguji langsung apakah PDL homogen terpenuhi.

Persamaan-persamaan Tak Homogen Anggaplah y p melambangkan suatu solusi tertentu dari L(y)=ф(x) dan anggaplah y h (yang akan kita sebut solusi homogen atau komplementer) mewakili solusi umum untuk persamaan homogeny L(y)=0.

Teorema 4 Solusi umum untuk L(y)=ф(x) adalah: y = y h + y p

Kesimpulan untuk PD Jika g(x)=0, maka persamaan homogen (komplementer) Jika b2, b1 dan b0 adalah konstanta, maka PD koefisien konstan Jika, maka PD orde kedua dapat dibagi dengan koefisien tersebut, sehingga menjadi: untuk persamaan differensial orde satu menjadi: Persamaan yang terakhir ini identik dengan: dimana: dan