MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

Teori PDL PDL Koef. Konstan PDL Koef. Variabel Konsep Penyelesaian PDL

Bentuk Persamaan PDL Bentuk persamaan differensial linear ORDE SATU

Solusi PDL Dengan Faktor Integral Cara 1 Contoh: Selesaikan:

Cara 2 Cara 2 dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integral : Contoh: Selesaikan:

Contoh 2 untuk cara 2: Cari penyelesaian untuk persamaan:

Persamaan Bernoulli Bentuk PD Bernoulli Dimana n adalah bilangan real dan Bagi pers. dengan y n Subtitusi Sehingga persamaan Bernoulli akan menjadi persamaan differensial linear.

Contoh Selesaikan persamaan Bernoulli berikut:

PDL Orde n Bentuk Umum PDL Orde n dimana g(x) dan koefisien b j (x), (j=0,1,2, …, n) tergantung hanya pada variable x. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada y atau pada turunan y. Suatu persamaan differensial yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk ini dinamakan tak linear.

Catatan jika, maka PDL orde n disebut homogen atau komplementer atau tereduksi. Tetapi jika tidak, disebut tak homogen atau lengkap. Suatu persamaan differensial memiliki koefisien-koefisien konstan jika seluruh koefisien b j (x) adalah konstanta, jika ada satu atau lebih koefisien tidak konstan, maka memiliki koefisien variable.

Teorema 1 Perhatikan soal nilai awal yang diberikan oleh persamaan linear orde n dan n kondisi-kondisi awal.,,, …, Jika g(x) dan b j (x) (j=0,1,2, …, n) adalah kontinyu dalam suatu interval I yang mengandung x 0 dan jika b j (x)≠0 dalam I, maka soal nilai awal yang diberikan oleh PDL orde n dan pers. diatas memiliki solusi unik (hanya satu) yang didefinisikan di seluruh I.

Ketika kondisi-kondisi pada b n (x) dalam teorema 1 berlaku, kita dapat membagi PDL Orde n dengan b n (x) untuk memperoleh: Dimana: (j=0,1,2,…,n) dan

Operator Differensial Linier Operator Differensial Linier didefinisiakn dengan L(y) dimana a i (x) (i=0,1,2,…,n) adalah kontinyu pada interval yang dinginkan. Maka persamaan PDL orde n dapat ditulis: untuk persamaan differensial homogen linear dapat dituliskan:

Solusi Untuk Independen Secara Linear Suatu himpunan fungsi adalah dependen secara linear pada a ≤ x ≤ b jika terdapat konstanta tidak semuanya nol, sehingga: berlaku pada selang a ≤ x ≤ b. Jika tidak demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas (independen) linear.

Teorema 2 Persamaan differensial homogen linear orde n L(y)=0 selalu memiliki n solusi yang independen secara linear jika mewakili solusi-solusi tersebut, maka solusi umum L(y)=0 adalah: dimana c 1, c 2, …, c n melambangkan konstanta- konstanta sembarang.

Ketidakbebasan linear dan Determinan Wronskian Suatu himpunan n fungsi dikatakan tak bebas linear pada suatu selang jika ada n konstanta c 1,c 2, …, c n yang tidak semua nol, sehingga kesamaan berlaku pada selang itu. Jika tidk demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas linear

Wronskian Wronskian dari suatu himpunan fungsi pada interval a ≤ x ≤ b, yang memiliki sifat bahwa setiap fungsi memiliki n-1 turunan pada interval ini adalah determinan.

Teorema 3 Jika Wronskian di suatu himpunan yang terdiri dari n fungsi yang didefinisikan pada interval a≤x≤b adalah bukan nol untuk paling sedikit satu titik pada interval tersebut, maka himpunan fungsi tersebut adalah independen secara linear. Jika Wronskian-nya secara identik nol pada interval tersebut dan jika setiap fungsi merupakan solusi untuk persamaan differensial linear yang sama, maka himpunan fungsi tersebut dependen secara linear.

Perhatian!!! Teorema 3 tidak memberikan definisi untuk kasus ketika Wronskian secara identik nol dan tidak diketahui apakah fungsi-fungsinya merupakan solusi-solusi untuk persamaan differensial yang sama. Dalam kasus demikian, kita harus menguji langsung apakah PDL homogen terpenuhi.

Persamaan-persamaan Tak Homogen Anggaplah y p melambangkan suatu solusi tertentu dari L(y)=ф(x) dan anggaplah y h (yang akan kita sebut solusi homogen atau komplementer) mewakili solusi umum untuk persamaan homogeny L(y)=0.

Teorema 4 Solusi umum untuk L(y)=ф(x) adalah: y = y h + y p

Kesimpulan untuk PD Jika g(x)=0, maka persamaan homogen (komplementer) Jika b2, b1 dan b0 adalah konstanta, maka PD koefisien konstan Jika, maka PD orde kedua dapat dibagi dengan koefisien tersebut, sehingga menjadi: untuk persamaan differensial orde satu menjadi: Persamaan yang terakhir ini identik dengan: dimana: dan