Sifat-sifat Kebaikan Penduga (lanjut) STAT MAT II Semester Genap 2011/2012 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi Relatif Digunakan sebagai ukuran keakuratan relatif dua penduga yang sama-sama tak bias Penduga tak bias dengan ragam lebih kecil adalah penduga yang lebih efisien Definisi: Untuk dua penduga yang sama-sama tidak bias effisiensi relatif adalah rasio antara ragam penduga satu dan penduga lainnya Efisiensi bagi penduga 1 relatif terhadap penduga 2 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Lebih efisien daripada sama efisiennya dengan Lebih efisien daripada 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc. Contoh 1: Terdapat 4 penduga bagi θ : Sudah dibuktikan bahwa keempat penduga tersebut sama-sama tidak bias MSE menjadi ragam bagi keempat penduga tersebut Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Definisi ragam: Sifat ragam: Sifat kebebasan: Sifat sebaran yang sama 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Sifat ragam: Sifat kebebasan: Sifat sebaran yang sama 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Sifat ragam: Sifat kebebasan: Sifat sebaran yang sama Ragam Terbesar 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi relatif terhadap Definisi efisiensi relatif: Akan ≤ 1. Pada n = 1 sama efisiennya Selainnya, efisiensi < 1: penduga 4 (rata-rata) lebih efisien daripada penduga 1 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi relatif terhadap Definisi efisiensi relatif: Pada n = 2 sama efisiennya Untuk n = 1, efisiensi > 1, penduga 2 lebih efisien daripada penduga 4 (rata-rata) Selainnya, efisiensi < 1: penduga 4 (rata-rata) lebih efisien daripada penduga 2 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi relatif terhadap Definisi efisiensi relatif: Pada n = 9/5 sama efisiennya (tidak realistis) Untuk n < 9/5, efisiensi > 1, penduga 3 lebih efisien daripada penduga 4 (rata-rata) Selainnya, efisiensi < 1: penduga 4 (rata-rata) lebih efisien daripada penduga 3 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc. Contoh 2: Terdapat tiga penduga bagi µ : Ketiganya adalah penduga tak bias (dari latihan sebelumnya) Sehingga MSE adalah ragam dari penduga-penduga tersebut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Sifat ragam: Sifat kebebasan: Sifat sebaran yang sama 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Sifat kebebasan: Sifat ragam: Sifat sebaran yang sama 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Definisi ragam: Sifat ragam: Sifat kebebasan: Sifat sebaran yang sama 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi relatif terhadap Definisi efisiensi relatif: Efisiensi relatif tergantung pada ukuran sampel n Pada n berapa keduanya sama efisiennya? Pada ukuran sampel 4 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Pada n = 4 tersebut diperoleh rasio yang paling kecil (sifat fungsi kuadrat dari n) Untuk n ≠ 4 efisiensi bernilai lebih dari 1 Untuk n ≠ 4 rata-rata sampel adalah penduga yang lebih efisien 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Efisiensi relatif terhadap Definisi efisiensi relatif: Efisiensi relatif tergantung pada ukuran sampel n Pada n berapa keduanya sama efisiennya? Pada ukuran sampel 2, kedua penduga sama efisiennya, Pada ukuran sampel >2 , penduga 3 (rata-rata) lebih efisien 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Penduga tak Bias dengan Ragam Minimum Secara Seragam (uniformly minimum variance unbiased estimator: UMVUE) Ingin diperoleh penduga tak bias dengan ragam sekecil mungkin Adakah batas bawah sebagai indikator bahwa ragam penduga sudah yang paling kecil? Batas bawah tersebut ada, dan diperoleh dari ketidaksamaan Cramer-Rao Jika penduga tak bias dapat mencapai ragam pada batas bawah tersebut maka penduga tersebut mempunyai sifat UMVUE 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Ketidaksamaan Cramer - Rao Suatu penduga tak bias mempunyai ragam dengan hubungan sbb: Batas bawah ragam bagi semua penduga yang mungkin dibentuk Negatif nilai harapan dari turunan kedua terhadap parameter dari log fungsi kepekatan peluang 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Contoh 3: Pada sebaran normal, rata-rata adalah penduga kemungkinan maksimum bagi µ Dari contoh 2 diperoleh bahwa rata-rata adalah penduga yang paling efisien di antara penduga-penduga lainnya Akan dianalisis apakah penduga ini adalah penduga yang bersifat UMVUE 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Nilai harapan dari konstanta, tidak melibatkan peubah X 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Berdasarkan ketidaksamaan Cramer Rao, batas bawah bagi ragam adalah: Seluruh penduga yang mungkin dibentuk untuk menduga µ, mempunyai ragam yang lebih besar dari batas tsb Dari contoh 2, diperoleh bahwa rata-rata mempunyai ragam pada batas tersebut 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Rata-rata adalah penduga dengan ragam terkecil yang mungkin diperoleh Rata-rata adalah penduga dengan sifat UMVUE 5/05/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc