SMA/MA Kelas XI Semester 1 Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Disusun oleh: Anna Yuni Astuti Disklaimer Daftar isi

Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

DAFTAR ISI Bab 1. Trigonometri Bab 2. Lingkaran

I Trigonometri A. Persamaan Trigonometri B. Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut C. Identitas Trigonometri Sudut Rangkap D. Identitas Perkalian dan Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Trigonometri 1. Pengertian Persamaan Trigonometri Penyelesaian Persamaan Trigonometri a. Penyelesaian persamaan sin x = sin a b. Penyelesaian persamaan cos x = cos a c. Penyelesaian persamaan tan x = tan a Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pengertian Persamaan Trigonometri Diskusikan pertanyaan berikut! Berikut beberapa contoh persamaan trigonometri. 1. Apakah persamaan-persamaan trigonometri tersebut memuat variabel? 2. Apakah persamaan-persamaan trigonometri tersebut selalu memuat variabel yang berada di dalam bentuk trigonometri? Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

KESIMPULAN Persamaan trigonometri adalah persamaan yang variabelnya termuat dalam bentuk trigonometri. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri Persamaan trigonometri diselesaikan dengan mengubah bentuk persamaan ke bentuk umum sin x = sin a, cos x = cos a, atau tan x = tan a. a. Penyelesaian persamaan sin x = sin a b. Penyelesaian persamaan cos x = cos a c. Penyelesaian persamaan tan x = tan a Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Penyelesaian persamaan sin x = sin a Sudut dalam satuan derajat: sin x = sin a x = a + k  360 atau x = (180 – a) + k  360 Sudut dalam satuan radian: sin x = sin a x = a + k  2 atau x = ( – a) + k  2 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan penyelesaian sin x = sin (–30 ). Jawaban: x = (–30) + k  360 atau x = (180 – (–30)) + k  360 atau x = 210 + k  360 Ingat penyelesaian sin x = sin a x = a + k  360atau x = (180 – a )+ k  360 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 210 dan 330 Untuk x = –30 + k  360: k = 0 maka x = –30 + 0  360 = –30 k = 1 maka x = –30 + 1  360 = 330 Untuk x = 210 + k  360: k = 0 maka x = 210 + 0  360 = 210 k = 1 maka x = 210 + 1  360 = 470 Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 210 dan 330 Jadi, himpunan penyelesaian sin x = sin 30 adalah {210, 330} Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Penyelesaian persamaan cos x = cos a Sudut dalam satuan derajat: cos x = cos a x = a + k  360 x = a + k  360 atau x = –a + k  360 Sudut dalam satuan radian: cos x = cos a x =  a + k  2 x = a + k  2 atau x = –a + k  2 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan penyelesaian persamaan cos 2x = cos 120 Jawaban: 2x = 120+ k  360 atau 2x = –120+ k  360 x = 60 + k  180 atau x = –60 + k  180 Ingat penyelesaian cos x = cos a x = a + k  360atau x = –a + k  360 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 60, 120, dan 240. Untuk x = 60 + k  180: k = 0 maka x = 60 + 0  180 = 60 k = 1 maka x = 60 + 1  180 = 240 k = 2 maka x = 60 + 2  180 = 420 Untuk x = –60 + k  360: k = 0 maka x = –60 + 0  180 = –60 k = 1 maka x = –60 + 1  180 = 120 Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 60, 120, dan 240. Jadi, himpunan penyelesaian sin x = sin 30 adalah {210, 330}. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Penyelesaian persamaan tan x = tan a Sudut dalam satuan derajat: tan x = tan a x = a + k  180 Sudut dalam satuan radian: tan x = tan a x = a + k   Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan penyelesaian persamaan tan (3x – 45) = tan 60 untuk 100  x  300. Jawaban: tan (3x – 45) = tan 60 3x – 45 = 60+ k  180 3x = 45 + 60 + k  180 3x = 105 + k  180 x = 35 + k  60 Ingat penyelesaian tan x = tan a x = a + k  180 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Nilai x yang memenuhi 100  x  300 adalah 155, 215, dan 275. Untuk x = 35 + k  60: k = 0 maka x = 35 + 0  60 = 35 k = 1 maka x = 35 + 1  60 = 95 k = 2 maka x = 35 + 2  60 = 155 k = 3 maka x = 35 + 3  60 = 215 k = 4 maka x = 35 + 4  60 = 275 k = 5 maka x = 35 + 5  60 = 335 Nilai x yang memenuhi 100  x  300 adalah 155, 215, dan 275. Jadi, himpunan penyelesaian tan (3x – 45) = tan 60 untuk 100  x  300 adalah {210, 330}. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B.Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan nilai trigonometri berikut. a. cos 105 b. sin 15 c. tan 255 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Identitas Trigonometri Sudut Rangkap 1. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Rangkap 2. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Pertengahan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Rangkap Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Pertengahan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Diketahui nilai tan x = dan x di kuadran II. Tentukan nilai sin dan cos . Jawaban: Dari tan x = dapat dibuat segitiga seperti gambar di samping. x di kuadran II, nilai sin x positif dan cos x negatif sehingga sin x = dan cos x = Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Oleh karena 90  x  180  45   90 maka nilai sin positif yaitu . Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Oleh karena 90  x  180  45   90 maka nilai cos positif yaitu . Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

D. Identitas Perkalian dan Penjumlahan dan Selisih Sinus Kosinus 1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus 2. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2.Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

II Lingkaran A. Persamaan Lingkaran B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran C. Garis Singgung Lingkaran Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Lingkaran 1. Pengertian Lingkaran 2. Persamaan Lingkaran a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r. b. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) dan berjari-jari r. c. Bentuk umum persamaan lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pengertian Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu dinamakan jari-jari lingkaran(radius). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Persamaan Lingkaran Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r. x2 + y2 = r2 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Bentuk umum persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = r2 Lingkaran tersebut mempunyai jari-jari: titik pusat: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik (1, 4). Tentukan panjang jari-jari lingkaran tersebut . Jawaban: Lingkaran melalui titik (1, 4), diperoleh: 12 + 42 + 6 × 1 – 2 × 4 + a = 0 ⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0 ⇔ a = –15 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran 1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran 2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran 3. Kedudukan Dua Lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Ada tiga kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran yaitu titik terletak di dalam, pada, atau di luar lingkaran. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah jarak antara titik (x1, y1) dan titik P(a, b). 1) Jika d < r, titik (x1, y1) terletak di dalam lingkaran. 2) Jika d = r, titik (x1, y1) terletak pada lingkaran. 3) Jika d > r, titik (x1, y1) terletak di luar lingkaran. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan kedudukan titik A(4, –2) terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat digunakan dua cara sebagai berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran Ada tiga kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran yaitu garis tidak memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran, dan garis memotong lingkaran di dua titik. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1) Jika D < 0, garis A tidak memotong lingkaran L. Kedudukan garis A terhadap lingkaran L dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. a. Mensubstitusikan persamaan garis A ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, lalu menghitung nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac). 1) Jika D < 0, garis A tidak memotong lingkaran L. 2) Jika D = 0, garis A menyinggung lingkaran L. 3) Jika D > 0, garis A memotong lingkaran L di dua titik. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Membandingkan antara jarak titik pusat lingkaran L terhadap garis A dengan jari-jari lingkaran. Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah jarak antara garis px + qy + r = 0 dan titik P(a, b). Kedudukan garis A terhadap lingkaran L sebagai berikut. 1) Jika d < r, garis A memotong lingkaran L di dua titik. 2) Jika d = r, garis A menyinggung lingkaran L. 3) Jika d > r, garis A tidak memotong lingkaran L. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Kedudukan Dua Lingkaran Ada beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran yaitu lingkaran pertama sepusat, terletak di dalam, terletak di luar, bersinggungan, saling lepas, atau memotong lingkaran kedua. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan kedudukan pasangan lingkaran A dengan persamaan (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9 dan lingkaran B dengan persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Garis Singgung Lingkaran 1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran a. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya. b. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. c. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. Titik perpotongan garis singgung dan lingkaran dinamakan titik singgung. Pada gambar di samping, garis A menyinggung lingkaran di titik A(x1, y1). Ruas garis AP tegak lurus dengan garis l. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya sebagi berikut. a. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya. b. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya . 1). Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r: 2). Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. 1). Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik T(x1, y1): 2). Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di titik T(x1, y1): 3). Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 +Ax + By + C = 0 di titik T(x1, y1): Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (15, –5) terhadap lingkaran (x – 10)2 + (y – 1)2 = 61 . Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran. Jika titik R(x1, y1) terletak di luar lingkaran, harus ditentukan garis kutub terlebih dahulu. Garis merupakan garis kutub lingkaran dari titik R. Garis kutub memotong lingkaran di titik A dan B. Garis singgung lingkaran melalui titik A dan B. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (15, –5) terhadap lingkaran x2 + y2 = 225 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Terima Kasih Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab