Determinan dan invers matriks Silabus Determinan dan inves matriks berordo 2x2 Determinan dan invers matriks ber ordo 3x3 Tujuan Pembelajaran Matematika Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Tujuan Pengalaman Belajar Setelah mengikuti proses pembelajaran, peserta didik diharapkan dapat: Menjelaskan determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Mengidentifikasi fakta pada sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Bekerja sama, berani mengemukakan pendapat, menjawab pertanyaan, dan percaya diri. Menjelaskan kembali cara menentukan determinan dan invers matriks dengan memahami elemen diagonal utama, elemen diagonal samping dan adjoin matriks. Mampu merumuskan model matematika dari suatu masalah dan menggunakan determinan dan invers matriks dalam memecahkan masalah. Silabus ◊ Tujuan Pembelajaran Matematika di SMA

Determinan dan invers matriks Silabus Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran Matematika Indikator Pencapaian Tujuan Pengalaman Belajar Silabus ◊ Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar Standart Kompetensi Memahami determinan dan invers matriks serta penggunaannya dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar ► Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 ► Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Determinan dan inves matriks berordo 2x2 Evaluasi

Determinan dan invers matriks Silabus Indikator Pencapaian Tujuan Tujuan Pembelajaran Matematika Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar Silabus ◊ Indikator Pencapaian Tujuan Indikator pencapaian tujuan determinan dan invers matriks, adalah sebagai berikut: Menjelaskan determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Mengidentifikasi fakta pada sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3 Determinan dan invers matriks Evaluasi

Detrminan dan invers matrik Silabus Pengalaman Belajar Tujuan Pembelajaran Matematika Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Tujuan Silabus ◊ Pengalaman Belajar Pengalaman belajar yang dapat diperoleh dari pembelajaran materi determinan dan invers matriks adalah siswa diajak untuk ◦ Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan determinan dan matriks ◦ Mengenal unsur-unsur atau pun elemen-elemen pada invers matriks ◦ Menentukan nilai determinan dan invers matriks Detreminan dan invers matriks Evaluasi

DETERMINAN dan INVER S MATRIKS Transpose Matriks (1)  Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (A t ) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Ex:  23  A    10   A t   2  15    30  3   5  3   

SIFAT Transpose Matriks (2)  Sifat: 1. (A t ) t = A 2. (A  B) t = A t  B t 3. (AB) t = B t A t 4. (kA) t = kA t Invers Matriks (1)  Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.  Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

SIFAT Transpose Matriks (2)  Sifat: 1. (A t ) t = A 2. (A  B) t = A t  B t 3. (AB) t = B t A t 4. (kA) t = kA t Invers Matriks (1)  Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.  Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Invers Matriks (2)  Ex: B   3 5  adalah invers dari A   2  5   1 2    13   karena AB   2  5  35    10   I   13  12  01   dan BA   35  2  5    10   I   12   13  01  Invers Matriks (3)  Cara mencari invers khusus matriks 2x2: Jika diketahui matriks A   ab    cd  maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc  0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus 1  d  b   d  b   A  1     ad  bcad  bc  ad  bc   ca    c a   ad  bcad  bc 

Invers Matriks (4)  Ex: Carilah invers dari A   2  5     13  Penyelesaian: A  1  1  35   1  35    3 5  2(3)  (  5)(  1)  12  1  1 2  1 2   (Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???) Invers Matriks (5)  Sifat: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka: 1. AB dapat dibalik(PUNYA INVERS) 2. (AB) -1 = B -1 A -1

Pangkat Matriks (1)  Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai: A 0 = I, A n = A A … A (n≥0) n faktor  Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai A -n = (A -1 ) n = A -1 A -1 … A -1 n faktor Pangkat Matriks (2)  Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka: 1. A r A s = A r+s 2. (A r ) s = A rs  Sifat: 1. A -1 dapat dibalik dan (A -1 ) -1 = A 2. A n dapat dibalik dan (A n ) -1 = (A -1 ) n, n=0,1,2,… 3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan (kA)  1  1 A  1 k

Invers Matriks Diagonal  Jika diketahui matriks diagonal  d   D   0d   ...     d n  maka inversnya adalah    d   1  D  1   0 d...0   2        d n   Pangkat Matriks Diagonal  Jika diketahui matriks diagonal  d   D   0d   ...     d n  maka pangkatnya adalah  d 1 k   D k   0d 2 k...0    ...    00...d k   n 

Invers Matriks dengan OBE (1)  Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)  A -1 = E k E k-1 … E 2 E 1 I n dengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE) Invers Matriks dengan OBE (2)  Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A -1.  Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].  Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A -1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A -1 ].

Invers Matriks dengan OBE (3)  Ex: Cari invers untuk  12 3   A     10 8  Penyelesaian:    b  2b    21     b 3   b 1   01  3  210    0  25  101   Invers Matriks dengan OBE (4)  Penyelesaian Cont.     b 3   2b  2   b 3    0 1  3  2 10    0 1  3  210   0 0  1   0015  2  1   b  3b  12 0  1463  10 0   13   b 2   3b  3    5  3   b 1   2b  2    5  3    2  1   2  1  

Invers Matriks dengan OBE (6)  Penyelesaian Cont. (2) Jadi    A  1   13  5  3    5  2  1   (Adakah cara lain???) Dengan KONSEP DETERMINAN  Apa itu determinan?  Bagaimana menentukan determinan matriks ordo n?

Determinan Matriks 2x2 (1)  Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.  Jika diketahui matriks berukuran 2x2, maka determinan matriks A  ab  adalah: det (A) = | A| = ad -bc A   cd   Determinan Matriks 2x2 (2)  Ex: Jika diketahui matriks P   23    45  maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2 (Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)

Determinan Matriks 3x3 (1)  Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus. Determinan Matriks 3x3 (2)  Ex:       1(5)(1)  2(4)(3)  3(4)(2)  3(5)(3)  2(4)(1)  1(4)(2)   

Determinan Matriks nxn (1)  Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.  Det (A)=Sum(a(i,j)*c(i,j)),ekspansi baris ke-i/kolom ke-j Determinan Matriks nxn (2)  Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda c ij =  M ij.  Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan c ij = (-1) i+j M ij.

Determinan Matriks nxn (3)  Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama Determinan Matriks nxn (4)  Ex:

bisa digunakan untuk menentukan Selanjutnya bagaimana determinan invers matriks..? Tentukan Adjoint Matriks (1)  3  12   Jika diketahui matriks 3x3  014    2  2 1    Kofaktor dari matriks tersebut adalah: c 11 =9c 12 =8 c 13 =-2 c 21 =-3c 22 =-1 c 23 =4 c 31 =-6c 32 =-12c 33 =3  98  2   Matriks kofaktor yang terbentuk   3  14     6  123  

Adjoint Matriks (2)  Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:  98  2  T  9  3  6    3  14    8  1  12     6  123   243   Invers Matriks nxn (1)  Rumus: dengan det(A)  0  Ex: Cari invers dari  3  12   A   014   2  21  

Invers Matriks nxn (2) Penyelesaian:  det(A)=3(1)(1)+( -1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)- 1(0)(-1) = =16  Adjoint A =  9  3  6    8  1  12    243    9  3  6  9 /16  3 /16  3 / 8   Maka A -1 = 1  8  1  12    1 / 2  1 /16  3 / 4  16    243   1 / 81 / 43 /16   Soal  Buktikan a 1  b 1 ta 2  b 2 ta 3  b 3 ta 1 a 2 a 3 a 1 t  b 1 a 2 t  b 2 a 3 t  b 3  (1  t 2 ) b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3  Buktikan 111 abc  (b  a )(c  a )(c  b ) a 2 b 2 c 2

Tugas  Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ !  Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen- elemen matriks, baris/ kolom yang akan dijadikan patokan.  Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya. Kuis  Cari a,b,c agar   85  2b s 3 i a m  e 2 tr  is   a  b  c  51  c  1   a  82c  40    Cari invers dari  cos  s I n     s In  cos     100  A 5   0  10   Cari matriks diagonal A supaya   00  1   x  1 10  3  Cari nilai x supaya  2x   x 13x  5