INTEGRAL TAK TENTU ANTI TURUNAN DAN INTEGRAL TAK TENTU RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI INTEGRAL BAGIAN DEMI BAGIAN

7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau lebih dikenal dengan proses integrasi . Jika pada proses differensiasi menghasilkan turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x).

Sebagai contoh F(x) = x3 adalah anti turunan f(x) = 3x2 , karena , Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x3, seperti x3 + 1, x3 + , x3 – e dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x3 + bilangan konstan) merupakan anti turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x2. Jika bilangan konstan kita lambangkan dengan C maka anti turunan dari 3x2 adalah x3 + C. Proses untuk menentukan anti turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk,

Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x. 7.2 Rumus-rumus integral tak tentu

V. Rumus-rumus teknis Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi.

Contoh 7.1 Selesaikan Penyelesaian

Contoh 7.2 Penyelesaian Contoh 7.3

7.3 Integrasi dengan substitusi Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral- integral dari fungsi yang sederhana saja. Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau ∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fo g maka h(x) = F(g(x)). Sehingga,

(*) Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) Substitusi (*) ke (**) didapat,

Contoh 7.4 Penyelesaian Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian

Misal u = x2 – 1  du = 2x dx 7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts) Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui bahwa,

Misal u = g(x) dan v = h(x) Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau integral parsial. Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas- prioritas agar penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. i) ln x ii) xn  n = bilangan bulat positif iii) ekx

Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = ex  dv = ex Contoh 7.7 Penyelesaian Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2 dv = sinx dx du = 2x dx v = –cosx

Misal u = 2x dv = cosx dx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**)

Substitusi (**) ke (*) didapat Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = ex dv = cosx dx du = ex dx v = sinx

Misal u = ex dv = sinx dx du = ex dx v = –cos x Substitusi (**) ke (*) didapat,