BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS Yulvi Zaika

BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,). BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS

Hubungan (x,y) dengan (r,) x = r cos , y = r sin, sehingga  = arc tan  adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos  + i sin ). dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ). Hubungan (x,y) dengan (r,)

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i. Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin  dan et dengan mengganti t = i.

Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Jadi z = (cos  + i sin ) = cis  =

Z1.z2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2) 2. Betuk Polar Pembagian Dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan penyebut dan mengurangi sudut pembilang dengan sudut penyebut. Misal dan Maka : Penambahan dan Pengurangan Tidak dapat dilakukan kecuali memiliki sudut  yang sama atau hanya berbeda phasa kelipatan 1800 Misal dan Maka z 1= r1 (cos1+i sin1) Z 2= r2 (cos2+i sin2) z 1= r1 (cos1+i sin1) Z 2= r2 (cos2+i sin2) Z1.z2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2)

Perkalian Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] Cos(1+ 2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2 sin(1+ 2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2 Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)] Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

. . . . . . . 2 Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

Perpangkatan

Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi . . .

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0  < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan . Jadi z = 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

1. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2 2. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 3. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. 4. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen 5. . Hitunglah (-2+2i)15