Pertemuan 4 Teori Dualitas bilqis

Teori Dualitas bilqis

Cara merubah primal  dual Pada primal  jadikan bentuk normal Jk f.tujuan = max, maka  seluruh pembatas jadikan  <= Jk f. tujuan = min, maka  seluruh pembatas jadikan  >= F. tujuan berubah bentuk primal  max, maka dual  min Primal  min, maka dual  max Kons. Kanan primal  koef.f.tujuan dual Koef.f.tujuan primal  kons. Kanan dual bilqis

Cara merubah primal  dual Untuk tiap pembatas primal ada 1 var dual Untuk tiap var.primal ada 1 pembatas dual Tanda pembatas pada dual akan tergantung pada f.tujuannya f.tujuan max, maka pembatas <= F.tujuan min, maka pembatas >= Dual dari dual  primal bilqis

Primal Perusahaan PT Sayang Anak max Z = 3x1 + 2x2 batasan : 2x1 + x2 <= 100 X1 + x2 <= 80 X1 <= 40 X1, x2 >= 0 X1 = boneka X2 = kereta api Waktu poles max 100 jam Waktu kayu max 80 jam Primal  mencari keuntungan max Berapa boneka dan kereta api yang Harus di produksi agar keuntungan max Dual  mencari berapa kebutuhan optimal Dari sumber daya yang ada Berapa jam waktu poles dan waktu kayu Yang dipakai sesungguhnya, agar hasil tetap optimal bilqis

Dengan grafis bilqis

Dengan simpleks 1. Jadikan standard 2. BV  S1, S2, S3 NBV  x1, x2 max Z = 3x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 z – 3x1 – 2x2 = 0 batasan 2x1 + x2 + S1 = 100 X1 + x2 + S2 = 80 X1 + S3 = 40 X1, x2, S1, S2, S3 >= 0 2. BV  S1, S2, S3 NBV  x1, x2 bilqis

3. table EV pivot pivot LV pivot 1 -1 20 bilqis

Keuntungan maksimum adalah 180 Optimal x1 = 20 X2 = 60 Z = 3.20 + 2.60 = 180 Keuntungan maksimum adalah 180 X1 = boneka yang diproduksi sebanyak 20 buah X2 = kereta api yang di produksi sebanyak 60 buah bilqis

Dual dari Primal Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3 Batasan bilqis

Dual  TORA bilqis

bilqis

Bahasan Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3 Batasan 2 y1 + y2 + y3 >= 3 Jawaban : y1 = 1 y2 =1 Maka min w = 100.1 + 80.1 = 180 Hasil sama dengan max Z = 180 Artinya  sumber daya poles perlu 100 jam dan sumber daya kayu perlu 80 jam agar mendapat hasil optimum bilqis

Contoh Soal bilqis

Primal dengan TORA bilqis

Primal dengan TORA bilqis

Dual dengan TORA bilqis

Dual dengan TORA bilqis

Dual dengan TORA bilqis

Model Primal : memaksimumkan Z = $160x1 + 200x2 terbatas pada 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam tenaga kerja 18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu 24x1 + 12x2 ≤ 240 M2 tempat penyimpanan x1, x2 ≥ 0 dimana x1 = jumlah meja yang diproduksi x2 = jumlah kursi yang diproduksi bilqis

bilqis

Jadi keuntungan max adalah : Hasil optimum X1 = meja  4 X2 = kursi  8 Jadi keuntungan max adalah : Max Z =2.240 bilqis

Model primal : maks Model dual : min meminimumkan Z = 40y1 + 216y2 + 240y3 terbatas pada 2y1+ 18y2 + 24y3 ≥ 160 4y1 + 18y2 + 12y3 ≥ 200 y1, y2, y3 > 0 bilqis

bilqis

Hasil optimum y1  20 y2  6,67 Jadi min w =2.240 bilqis

Contoh 2 : meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 terbatas pada 2x1 + 4x2 ≥ 16 pon nitrogen 4x1 + 3x2 ≥ 24 pon phospate x1, x2 ≥0 dimana x1 = jumlah sak pupuk Super‑gro x2 = jumlah sak pupuk Crop‑quik Z = total biaya pembelian pupuk bilqis

Dual : memaksimumkan Zd = 16y1 + 24y2 terbatas pada 2y1 + 4y2 ≤ 6, biaya dari Super‑gro 4y1 + 3y2 ≤ 3, biaya dari Crop‑quik y1 , y2 ≥0 dimana y1 = nilai marjinal nitrogen y2 = nilai marjinal phospate bilqis

Contoh 3: memaksimumkan Z = 10x1 + 6x2 terbatas pada x1 + 4x2 ≤ 40 bilqis

Shg Perubahan Batasan : memaksimumkan Zp = 10x1 + 6x2 terbatas pada x1 + 4x2 ≤ 40 3x1 + 2x2 ≤ 60 ‑3x1 – 2x2 ≤ ‑60 ‑2x1 – x2 ≤ -25 x1, x2 ≥ 0 bilqis

Bentuk dual : meminimumkan Zd = 40y1 + 60y2 – 60y3 – 25y4 terbatas pada y1 + 3y2 –3y3 – 2y4 ≥ 10 4y1 + 2y2 –2y3 – y4 ≥ 6 y1, y2, y3, y4 ≥ 0 bilqis

primal Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 Batasan x1 + 2 x2 + x3 <= 10 bilqis

Primal  normal Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 Batasan bilqis

dual Min W = 10 y1 + 8 y2 - 8 y3’ Batasan y1 + 2 y2 - 2 y3 >= 5 bilqis

Primal dengan TORA bilqis

bilqis

Dual dengan TORA bilqis

bilqis

bilqis

Primal dengan manual Itr BV x1 x2 x3 s1 R2 Solusi z -(2M+5) M-12 z -(2M+5) M-12 -(3M+4) -8M 1 2 10 -1 3 8 -7/3 -40/3 4/3+M 32/3 1/3 7/3 -1/3 22/3 s2 2/3 8/3 -3/7 40/7 -4/7+M 368/7 1/7 3/7 -1/7 22/7 5/7 2/7 26/7 bilqis

Primal (cont’d) Itr BV x1 x2 x3 s1 R2 Solusi 3 z 3/5 29/5 -2/5+M 3/5 29/5 -2/5+M 54 4/5 1 -1/5 2/5 12/5 7/5 1/5 26/5 bilqis

Dual dengan manual bilqis

Contoh Lain Reddy Mikks model : Primal Dual max z = 5x1+4x2 min w = 24y1+6y2+y3+2y4 st: st: 6x1 + 4x2 ≤ 24 (M1) 6y1+y2-y3 ≥5 x1 + 2x2 ≤ 6 (M2) 4y1+2y2+y3+y4 ≥4 -x1 + x2 ≤ 1 y1, y2, y3, y4 ≥ 0 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Optimal solution : Optimal solution : x1 = 3, x2 = 1.5, z = 21 y1=0.75, y2=0.5, y3=y4=0, w=21 bilqis

PR Cari bentuk dual dari primal berikut ini dan cari jawaban primal dan dual Max Z = -5x1 + 2x2 Batasan -x1 + x2 <= -2 2x1 + 3x2 <= 5 X1, x2 >=0 bilqis