PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

TUGAS WORKSHOP SMA KELAS X SEMESTER 1 GEOMETRI DOSEN PENGAMPU : Drs. DJOKO PURNOMO, M.M

NIAM KHOLID Hidayatullah 10310048 5B MATEMATIKA

BAB 6 GEOMETRI STANDAR KOMPETENSI: Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga KOMPETENSI DASAR: Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan jarak dari titik ke garis, dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

BAB 6 GEOMETRI 6-2 MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG 6-1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG 6-2 MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG 6-3 MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG

6-1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG 6-1-1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang 6-1-2 Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang 6-1-3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidang 6-1-4 Kedudukan Bidang Terhadap Bidang lain 6-1-5 Menyelesaikan Soal-Soal Lukisan Ruang

6-2 MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG 6-2-1 Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang 6-2-2 Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang, dan Bidang ke Bidang

6-3-1 Sudut antara Garis dan Garis 6-3 MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG 6-3-1 Sudut antara Garis dan Garis 6-3-2 Sudut antara Garis dan Bidang 6-3-3 Sudut antara Bidang dan Bidang

6-1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG 6-1-1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang Titik sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (tidak berdimensi) Garis garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar Bidang dikatakan bidang jika mempunyai panjang dan lebar

Aksioma Garis dan Bidang Aksioma atau Postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sisitem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian Aksioma-Aksioma Euclides Aksioma 1 melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus g B A

melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus Aksioma 2 jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang g B A α Aksioma 3 melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus C B A α

Dalil 1 Dalil 2 Dalil 3 Dalil 4 Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang Dalil 2 sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis) Dalil 3 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan Dalil 4 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

Dalil 1 Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang C α B A

Dalil 2 sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis) α g A

Dalil 3 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan h α g

Dalil 4 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar α h g

6-1-2 Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang Titik Terletak Pada Garis Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g A g Titik di Luar Garis Jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B berada di luar garis h h B

Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping Contoh: Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping g Segmen atau ruas garis AB sebagai wakil garis g Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah titik A dan titik B Titik-titik sudut kubus yang berada di luar garis g adalah titik-titik C, D, E, F, G, dan H

α β Kedudukan Titik Terhadap Bidang Titik Terletak Pada Bidang Jika titik A dilalui oleh bidang α, maka titik A dikatakan terletak pada bidang α α A Titik di Luar Bidang Jika titik B tidak dilalui oleh bidang β, maka titik B berada di luar bidang β β B

Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping Contoh: Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping Bidang DCGH sebagai wakil bidang U Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C, D, G, dan H Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang U adalah titik-titik A, B, F, dan E

α α α α 6-1-3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidang Kedudukan Garis Terhadap Garis lain Dua Garis Berpotongan A α h g Dua Garis sejajar g α h Dua Garis Bersilangan A α h g Dua Garis Berhimpit g α h

AKSIOMA DUA GARIS SEJAJAR melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis , hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu Titik A berada diluar garis g. melalui titik A dan garis g dapat dibuat bidang α (dalil 2). Selanjutnya melalui titik A dapat dibuat sebuah garis h yang sejajar terhadap garis g h α A g

DALIL –DALIL TENTANG DUA GARIS SEJAJAR Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m l k m k // l l // m k // m

k, l, dan g terletak pada sebuah bidang Dalil 6 Jika garis k sejajar garis h dan memotong garis g, garis I sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang k // h dan k memotong g l // h dan l memotong g k, l, dan g terletak pada sebuah bidang α k l g

Dalil 7 Jika garis k sejajar garis l dan garis l menembus bidang α, maka garis k juga menembus bidang α α Q F l k k // l l menembus bidang α k menembus bidang α

Garis Terletak Pada Bidang Kedudukan Garis Terhadap Bidang Garis Terletak Pada Bidang α A B g g Garis Sejajar Bidang α Garis Memotong atau menembus Bidang α A g

DALIL-DALIL TENTANG GARIS SEJAJAR BIDANG Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α g h g // h h terletak pada bidang α g // bidang α α

Dalil 9 Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar bidang β maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g α g α melalui g g // bidang β (α,β) // g (α,β) β

Dalil 10 jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar dengan bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α h g g // h h // bidang α g // bidang α α

Dalil 11 jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang α dan bidang β akan sejajar dengan garis g α berpotongan dengan β α // g β // g (α,β) // g g (α,β) α β

Titik Tembus garis dan Bidang yang Berpotongan α β (α,β) B A P g

6-1-4 Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain Dua bidang Berimpit (α,β) Dua bidang Sejajar α β Dua bidang Berpotongan (α,β) α β

DALIL-DALIL TENTANG DUA BIDANG SEJAJAR jika garis a sejajar garis g dan garis b sejajar garis h, garis a dan garis b berpotongan terletak pada bidang α, garis g dan garis h berpotongan terletak pada bidang β, maka bidang α sejajar bidang β α a // g b // h a dan b berpotongan pada bidang α g dan h berpotongan pada bidang β Bidang α // bidang β g a b h β

bidang γ memotong bidang α bidang β (α,γ) // (β,γ) Dalil 13 jika bidang α sejajar bidang β dan dipotong oleh bidang γ, maka garis potong (α,γ) sejajar dengan garis potong (β,γ) bidang α // bidang β bidang γ memotong bidang α bidang β (α,γ) // (β,γ) α β (α,γ) (β,γ)

Dalil 14 jika garis g menembus bidang a dan bidang a sejajar bidang b, maka garis g juga menembus bidang b g menembus α bidang α // bidang β g menembus bidang β α β A B g

Dalil 15 jika garis g sejajar bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga sejajar bidang β g sejajar bidang α bidang α // bidang β g // bidang β α β g

g terletak pada bidang α bidang α // bidang β g // bidang β Dalil 16 jika garis g terletak pada bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g sejajar bidang β g terletak pada bidang α bidang α // bidang β g // bidang β α β g

bidang γ memotong bidang α bidang γ juga memotong bidang β Dalil 17 jika bidang α sejajar bidang β dan bidang γ memotong bidang α, maka bidang γ memotong bidang β bidang α // bidang β bidang γ memotong bidang α bidang γ juga memotong bidang β α β γ

Dalil 18 jika bidang α sejajar bidang β, dan bidang β sejajar bidang γ , maka bidang α sejajar bidang γ bidang α // bidang β bidang β // bidang γ bidang α // bidang γ α β γ

α dan β berpotongan pada garis (α,β) Dalil 19 jika bidang α sejajar bidang U dan bidang β sejajar bidang V, bidang α dan bidang β berpotongan pada garis (α,β), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U,V), maka garis (α,β) sejajar garis (U,V) bidang α // bidang U bidang β // bidang V α dan β berpotongan pada garis (α,β) U dan V berpotongan pada garis (U,V) (α,β) // (U,V) β α (α,β) V U (U,V)

6-1-5 Menyelesaikan Soal-soal Lukisan Bidang C V U CONTOH: Diketahui bidang U dan bidang V saling berpotongan. Titik A terletak pada bidang U, titik B dan C terletak pada bidang V seperti pada gambar disamping Lukislah bidang α yang melalui tiga titik. Titik A, titik B dan titik C

JAWAB: Analisis: Bidang a melalui titik A,B, dan C, maka bidang a dan bidang V mempunyai titik persekutuan B dan C. dengan demikian (a,V) melalui titik B dan titik C yang diwakili oleh ruas garis PQ Ruas garis PQ menembus bidang U di titik Q, sehingga bidang a dan bidang U mempunyai titik persekutuan di A dan Q. dengan demikian (a,U) melelui titik A dan titik Q yang diwakili oleh ruas garis QR A B C V U (α,U) R P Q (β,V) α Bidang a yang diminta dilukis melalui ruas garis PQ dan ruas garis QR yang berpotongan di titik Q (ingat dalil 3). Gambar bidang a diwakili oleh jajargenjang PQRS

Lukislah bidang a yang melalui garis g dan titik P V R Q Contoh: Diketahui bidang U dan bidang V saling berpotongan. Titik P terletak pada bidang U, garis g menembus bidang U di titik Q dan bidang V di titik R. Lukislah bidang a yang melalui garis g dan titik P

Ingat dalil 2 Melalui sebuah garis dan sebuah titik (titik diluar garis) hanya dapat dibuat sebuah bidang Bidang a (bidang yang akan dilukis) dan bidang U mempunyai titik persekutuan P dan Q maka (a, U) melalui titik P dan titik Q yang diwakili oleh ruas garis KL Ruas garis KL menembus bidang V di titik L, sehingga bidang a dan bidang V mempunyai titik persekutuan L dan R. dengan demikian (a,V) melalui titik L dan titik R yang diwakili oleh ruas garis LM P g U V R Q α N K M L (α,V) (α,U) Bidang a yang diminta dilukis melalui ruas garis KL dan rias garis LM yang berpotongan di titik L. Ingat dalil 3. gambar bidang a diwakili oleh jajargenjang LMKN

Lukislah garis x yang sejajar garis k serta memotong garis g dan h Contoh: Garis g terletak pada bidang U dan garis h terletak pada bidang V, garis k memotong garis g dan menembus bidang V di titik P Lukislah garis x yang sejajar garis k serta memotong garis g dan h h P k V U g

Garis g dan garis k berpotongan, membentuk bidang a ( dalil 3) Jawab: Garis g dan garis k berpotongan, membentuk bidang a ( dalil 3) Garis h menembus bidang a di titik Q Melalui titik Q dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis k (aksioma 4) garis itu adalah garis x yang diminta, yaitu garis yang melalui titik Q dan R h P k V U g Q x α R

6-2 Menentukan Jarak dalam Ruang Jarak Titik A ke Titik B A (x₁,y₁) d B (x₂,y₂) 𝒅=𝑨𝑩= x₂−x₁ 𝟐 + (y₂−y₁) 𝟐

𝒅= 𝒂x₁+𝒃y₁+𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 Jarak Titik P ke garis g P(x₁,y₁) g≡ ax + by + c = 0 P(x₁,y₁) 𝒅= 𝒂x₁+𝒃y₁+𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐

Jarak Titik A ke Bidang α Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α Garis g menembus bidang α di titik Q Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta Q α d g A

Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan rusuk CG. Hitung jarak Titik A ke Titik B Titik A ke Titik C Titik A ke Titik D Titik A ke Titik G Titik A ke Titik P Titik B ke Titik P A H G F E D P C B

Jarak titik A ke titik B = Panjang ruas garis AB = Panjang rusuk AB H G F E D C B Jarak titik A ke titik B = Panjang ruas garis AB = Panjang rusuk AB = 5 cm A H G F E D C B Jarak titik A ke titik C = Panjang ruas garis AC = Panjang diagonal AC = 5 2 cm

= panjang diagonal ruang AG = 5 3 cm Jarak titik A ke titik D = Panjang ruas garis AD = panjang rusuk AD = 5 cm A H G F E D C B Jarak titik A ke titik G = Panjang ruas garis AG = panjang diagonal ruang AG = 5 3 cm A H G F E D P C B

Jarak titik A ke titik P = panjang ruas garis AP 𝐴𝑃= (𝐴𝐶) 2 + (𝐶𝑃) 2 𝐴𝑃= (𝐴𝐶) 2 + (𝐶𝑃) 2 ⟺ 𝐴𝑃= (5 2 ) 2 + 5 2 2 ⟺ 𝐴𝑃= 50+ 25 4 ⟺ 𝐴𝑃= 225 4 ⟺ 𝐴𝑃= 15 2 ⟺ 𝐴𝑃=7,5 𝑐𝑚 A H G F E D P C B

Jarak titik B ke titik P = panjang ruas garis BP 𝐵𝑃= (𝐵𝐶) 2 + (𝐶𝑃) 2 𝐵𝑃= (𝐵𝐶) 2 + (𝐶𝑃) 2 ⟺ B𝑃= (5) 2 + 5 2 2 ⟺ B𝑃= 25+ 25 4 ⟺ B𝑃= 125 4 ⟺ B𝑃= 5 2 5 𝑐𝑚 A H G F E D P C B

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 5 cm Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. titik P pertengahan rusuk CG . Hitung jarak: Titik A ke garis BC Titik A ke garis FG Titik C ke garis FH Titik P ke garis CD Titik P ke garis BF Titik P ke garis BD A H G F E D P C B

Jarak titik A ke garis BC = AB = 5 cm Jarak titik A ke garis FG = AF = 5 2 𝑐𝑚 A H G F E D C B A H G F E D C B

Jarak titik C ke garis FH adalah CO, dengan O adalah pertengahan FH Perhatikan ∆COF siku-siku di O, CF=5 2 𝑐𝑚 dan OF= 5 2 2 𝑐𝑚 H A G F E D O C B O F C 𝐶𝑂= (𝐶𝐹) 2 − (𝑂𝐹) 2 ⟺ 𝐶𝑂= (5 2 ) 2 − 5 2 2 2 ⟺ 𝐶𝑂= 50− 25 2 ⟺ 𝐶𝑂= 75 2 ⟺ CO= 5 2 6 𝑐𝑚 Jadi jarak titik C ke garis FH adalah CO= 5 2 6 𝑐𝑚

Jarak titik P ke garis CD = PC = 5 2 cm Jarak titik P ke garis BF = PQ = CB = 5 cm A H G F E D P C B A H G F E D P C B Q

Jarak titik P ke garis BD adalah PR, dengan R adalah pertengahan BD Perhatikan ∆RCP siku-siku di C, RC= 5 2 2 𝑐𝑚 dan dan PC= 5 2 𝑐𝑚 A H G F E D P C B R 𝑃𝑅= (𝑅𝐶) 2 + (𝑃𝐶) 2 ⟺ 𝑃𝑅= ( 5 2 2 ) 2 + 5 2 2 ⟺ 𝑃𝑅= 25 2 + 25 4 ⟺ 𝑃𝑅= 75 4 ⟺ PR= 5 2 3 𝑐𝑚 C R P Jadi jarak titik P ke garis BD adalah PR = 5 2 3 𝑐𝑚

Jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD Bidang alas limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang, AB=4cm, BC=3cm, dan TA=TB=TC=TD=6,5cm Hitunglah: Panjang AC Jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD 4 cm B A O D C T 3 cm 6,5 cm

Panjang AC 𝐴𝐶= 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 ⟺ 𝐴𝐶= 4 2 + 3 2 ⟺ 𝐴𝐶= 16+9 ⟺ 𝐴𝐶= 25 ⟺ 𝐴𝐶=5 𝐴𝐶= 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 ⟺ 𝐴𝐶= 4 2 + 3 2 ⟺ 𝐴𝐶= 16+9 ⟺ 𝐴𝐶= 25 ⟺ 𝐴𝐶=5 Jadi panjang AC = 5 cm 4 cm B A O D C T 3 cm 6,5 cm

Jarak titik T ke bidang alas ABCD adalah TO = 6 cm Jarak titik T ke bidang alas ABCD adalah TO, dengan O adalah titik potong diagonal-diagonal AC dan BD Perhatikan ∆TOC siku-siku di O, OC= 1 2 𝐴𝐶= 5 2 =2,5𝑐𝑚 dan TC=6,5𝑐𝑚 𝑇𝑂= 𝑇𝐶 2 − 𝑂𝐶 2 ⟺ 𝑇𝑂= 6,5 2 − 2,5 2 ⟺ 𝑇𝑂= 42,25−6,25 ⟺ 𝑇𝑂= 36 ⟺ 𝑇𝑂=6 Jarak titik T ke bidang alas ABCD adalah TO = 6 cm 4 cm B A O D C T 3 cm 6,5 cm

6-2-2 Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang, Bidang ke Bidang Jarak Dua Garis Sejajar Jarak Dua Garis Bersilangan Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar Jarak Dua Bidang Sejajar

Jarak Dua Garis Sejajar h g α d h g B A α ⌞ ⌜

Jarak Dua Garis Bersilangan h P β α g Jarak Dua Garis Bersilangan ⌝ d g h k Q P β α g’

Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar α ⌜ Q P k g d α

Jarak Dua Bidang Sejajar β α β α ⌜ k Q d P

6-3 MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG 6-3-1 Sudut Antara Garis dan Garis Sudut antara Dua Garis Berpotongan Sudut antara Dua Garis Bersilangan 6-3-2 Sudut Antara Garis dan Bidang 6-3-1 Sudut Antara Bidang dan Bidang

Sudut antara Dua Garis Berpotongan Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α langkah-langkah menentukan sudut : Ambil sebarang titik A pada garis g dan sebarang titik B pada garis h Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h α g h A B P

Sudut antara Dua Garis Bersilangan Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Garis g menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α langkah-langkah menentukan sudut : Ambil sebarang titik O pada bidang α Melalui titik O, buatlah garis g’ sejajar dengan garis g dan garis h’ sejajar dengan garis h Sudut tang dibentuk oleh garis g’ dan h’ ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan α g h O P g’ h’

jadi besar sudut antara garis AH dan garis BF adalah ∠(AH,BF)=45ᵒ Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. hitung besar sudut antara: AH dan BF DE dan BG Jawab: Garis AH dan garis BF bersilangan. ∠(AH,BF)=∠(AH,AE)=∠EAH, sebab AE//BF Garis AH adalah diagonal sisi ADHE(berbentuk persegi) sehingga besar ∠EAH=45ᵒ A H G F E D C B jadi besar sudut antara garis AH dan garis BF adalah ∠(AH,BF)=45ᵒ

Garis DE dan garis BG bersilangan. ∠(DE,BG)=∠(DE,AH)=∠EOH, sebab AH//BG Garis AH dan garis DE adalah diagonal-diagonal sisi ADHE (berbentuk persegi) sehingga garis AH dan garis DE berpotongan tegak lurus di titik O, dengan demikian besar ∠EOH=90ᵒ A H G F E D C B O jadi besar sudut antara garis DE dan garis BG adalah ∠(DE,BG)=45ᵒ. Dikatakan garis DE dan garis BG bersilangan tegak lurus

6-3-2 Sudut Antara Garis dan Bidang Definisi : sudut antara garis dan bidang yang berpotongan Sudut antara garis g dan bidang 𝛼 adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang α

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm Hitung besar ∠(AH, bidang ABCD) Jika sudut antara diagonal ruang AG dengan bidang alas ABCD adalah α, hitung sin α, cosα, tanα Jawab: ∠(AH, bidang ABCD)=∠DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH dan garis AD. Sebab AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD ∆ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga ∠DAH=45ᵒ A H G F E D C B

sin 𝛼= 𝐶𝐺 𝐴𝐺 = 6 6 3 = 1 3 = 1 3 3 𝑐𝑜𝑠α= 𝐴𝐶 𝐴𝐺 = 6 2 6 3 = 2 3 = 1 3 6 Jawab: ∠(AG, bidang ABCD)=∠CAG, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AG dan garis AC. Sebab AC adalah proyeksi AGpada bidang ABCD ∆ACG adalah segitiga siku-siku di C dengan AC=6 2 𝑐𝑚, AG=6 3 𝑐𝑚 dan CG=6cm sin 𝛼= 𝐶𝐺 𝐴𝐺 = 6 6 3 = 1 3 = 1 3 3 A H G F E D C B 𝑐𝑜𝑠α= 𝐴𝐶 𝐴𝐺 = 6 2 6 3 = 2 3 = 1 3 6 tan 𝛼= 𝐶𝐺 𝐴𝐶 = 6 6 2 = 1 2 = 1 2 2

6-3-3 Sudut Antara Bidang dan Bidang Definisi : sudut antara dua bidang yang berpotongan Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang kedua). Garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm Hitung besar sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD Titik-titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengan rusuk tegak BF dan CG, hitung sinus sudut antara bidang EPQH dan bidang EFGH Jawab: Sudut antara bidang ADGF dengan ABCD adalah ∠BAF atau ∠CDG, ∠BAF =45ᵒ karena AF merupakan diagonal sisi ABFE jadi besar sudut antara ADGF dengan bidang ABCD =45ᵒ A H G E C B F D

Jadi sinus Sudut antara bidang EPQH dengan EFGH adalah 1 5 5 Jawab: Sudut antara bidang EPQH dengan EFGH adalah ∠FEP atau ∠GHQ, ∆FEP siku-siku di F, EF=10 cm, FP= 1 2 𝐵𝐹 = 5 cm, sehingga 𝐸𝑃= 𝐸𝐹 2 + 𝐹𝑃 2 ⟺ 𝐸𝑃= 10 2 + 5 2 ⟺ 𝐸𝑃= 100+25 ⟺ 𝐸𝑃= 125 =5 5 Nilai sinus ∠FEP Sin∠𝐹𝐸𝑃= 𝐹𝑃 𝐸𝑃 ⟺Sin∠𝐹𝐸𝑃= 5 5 5 = 1 5 5 A H G E C B F D P Q Jadi sinus Sudut antara bidang EPQH dengan EFGH adalah 1 5 5

Pada limas segi empat T.ABCD, bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB= 8 cm, BC= 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. sudut β adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD. Htung cos β: 8 cm B A O D C T 6 cm 13 cm β Q R jawab: sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD adalah β=∠ QTR. Dengan Q dan R adalah titik tengah rusuk AB dan rusuk CD QR = BC = 6 CM, dan TQ = TR = 3 17 QR² = TQ² + TR² - 2 TQ.TR cos β ⟺ cos β= TQ² + TR²−QR² 2 TQ.TR ⟺ cos β= (3 17 )² + 3 17 ²−(6)² 2 3 17 3 17 ⟺ cos β= 153+153 −36 2 (153) = 270 306 = 15 17 Jadi cos β: 15 17

SELAMAT BELAJAR