BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:

Contoh 4.1

Contoh 4.2: 1. Buktikan bahwa Buktikan bahwa Secara umum: dan

4.2. Fungsi Kontinu Definisi 4.2.1: Akibat Definisi 4.2.1:

Contoh: f(x) = 3 – 4x adalah kontinu di setiap titik c  R . 2. kontinu di setiap c  R 3. kontinu di (0 , ).

Teorema 4.2.2: Teorema 4.2.3 f(x) kontinu di x = c jika dan hanya jika setiap (xn) yang konvergen ke c maka (f(xn)) konvergen ke f(c).

Contoh 4.4:

Teorema 4.2.4:

Teorema 4.2.5:

Teorema 4.2.6: Jika f(x) kontinu di x = c dan g(x) kontinu di x = c, maka f + g dan f – g, juga kontinu di c. Teorema 4.2.7: Jika kontinu di c dan kontinu di f(c), maka kontinu di c.

Akibat Teorema 4.2.7: Jika f fungsi kontinu maka f  dan juga fungsi kontinu. Bukti:

4.3. Keterbatasan Fungsi Kontinu Keterbatasan suatu fungsi pada suatu interval tidak menjamin kekontinuan fungsi tersebut, dan Sebaliknya. Sebagai contoh, fungsi: 1. f(x) = x2 kontinu di R walaupun tdk trbatas di R. tidak terbatas dan tidak kontinu di [0,). 3. adalah terbatas tapi tidak kontinu di R. 4. f(x) = x2 kontinu dan sekaligus terbatas di [0 , 1] .

Teorema 4.3.1: Jika f(x) kontinu di c, maka ada  > 0 sehingga f(x) terbatas di . Teorema 4.3.2: Jika f(x) kontinu di x = c dan g(x) kontinu di x = c, maka f. g dan f/g dengan syarat g(c)  0 , juga kontinu di c.

Definisi 4.3.3:

Contoh: Fungsi kontinu kanan tapi tidak kontinu kiri pada setiap bilangan bulat x

Contoh: Dalam hal ini f kontinu kanan di x = 0 tapi tidak kontinu kiri di x = 0. Fungsi f kontinu kanan di x = 0 dan juga kontinu kiri di x = 0 , sehingga f kontinu di setiap bilangan real x

Akibat Definisi 4.3.3: f(x) adalah kontinu di interval tutup [a, b] jika 1. f kontinu di (a, b) 2. f kontinu kanan di a 3. f kontinu kiri di b

Teorema 4.3.4: Teorema 4.3.5: Jika f(x) kontinu pada interval tutup dan terbatas [a, b] , maka f(x) terbatas di [a, b].

Akibat Teorema 4.3.5: Jika f(x) kontinu di [a, b] , maka f(x) terbatas di [a, b], sehingga f(x) mempunyai supremum dan infimum di [a, b].

Contoh:

Contoh: f(x) terbatas di [0 , 3] karena ada M = 6 sehingga

Teorema 4.3.6 (Teorema Nilai Rata-Rata Bolzano): Jika f(x) kontinu di [a , b] dan ada bilangan k  R sehingga k terletak antara f(a) dan f(b), maka ada c  (a , b) sehingga f(c) = k.

Bukti: Definisikan fungsi g(x) = f(x) – k , sehingga g(a) = f(a) – k dan g(b) = f(b) – k . Karena f(a) < k < f(b), maka g(a) < 0 < g(b) . Selanjutnya karena g(x) juga fungsi kontinu, maka pasti ada c  (a , b) sehingga g(c) = 0. Artinya g(c) = f(c) – k = 0 , sehingga f(c) = k.

4.4. Kontinu Seragam Definisi 4.4.1: Catatan:  = () berarti  hanya tergantung pada  saja.

Contoh : f(x) = 5 – 4x kontinu seragam di R Namun demikian f(x) kontinu seragam di interval [0 , 4]

Kriteria Tidak Kontinu Seragam Misalkan f : A  R sebuah fungsi , maka pernyataan berikut adalah ekivalen: i. f tidak kontinu seragam di A.

Contoh:

Teorema 4.4.2: Jika f kontinu seragam di A maka f kontinu di setiap titik dalam A. Bukti: Jelas, dari definisi. ■ Teorema 4.4.3: Jika f kontinu pada interval tutup dan terbatas [a , b], maka f kontinu seragam pada [a , b].

Definisi 4.4.4: Fungsi f : A  R disebut fungsi Lipschitz ( atau memenuhi syarat Lipschitz) apabila terdapat sebuah konstanta K > 0 sehingga untuk semua x , u  A .

Contoh: f(x) = x2 adalah fungsi Lipschitz pada interval [0 , a] , karena ada K = 2a > 0 sehingga

Teorema 4.4.5: Jika f : A R fungsi Lipschitz , maka f kontinu seragam di A Bukti:

Latihan:

Latihan (lanjutan)