FMIPA Universitas Indonesia TURUNAN DI Rn FMIPA Universitas Indonesia

Turunan Berarah dan Vektor Gradien Materi Turunan di Rn Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut. Merepresentasikan sebuah fungsi dua peubah sebagai grafik permukaan, dan membuat sketsa kurva ketinggian dengan bantuan TIK. Memvisualisasikan grafik permukaan dan kurva ketinggian secara tepat. Menghitung turunan parsial dan gradien Menggunakan gradien untuk mencari bidang singgung, turunan berarah, dan menginterpretasikan secara geometri Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: Menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi turunan fungsi n peubah. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis dari fungsi multivariabel dengan menggunakan uji turunan kedua. Menggunakan metode Lagrange untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi multivariabel dengan kendala. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk melakukan prediksi. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Hanya digunakan di Universitas Indonesia FMIPA Universitas Indonesia Fungsi n Variabel Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Fungsi-2 Variabel Fungsi dua variabel : adalah aturan f yang mengaitkan setiap pasangan terurut di daerah asal D yang berupa bidang dengan tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan. disebut variabel bebas fungsi dan z adalah variabel terikat. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

CONTOH 1 : Mencari daerah asal fungsi Tentukanlah daerah asal dari fungsi . Penyelesaian Daerah asal dari f adalah semua (x,y) sedemikian sehingga y ^2 -x ≥0 dan titik (2,0) tidak termasuk. Dari ketaksamaan y^ 2- x diperoleh daerah adadaaa . Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Grafik Fungsi Dua Variabel Grafik fungsi dua variabel adalah gambar dari persamaan berupa permukaan di ruang dengan koordinat titiknya adalah yang memenuhi persamaan . Setiap titik di daerah asal berkorespondensi dengan tepat satu titik z. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 2 : Sketsa grafik fungsi Sketsalah grafik dari Penyelesaian : Cari titik-titik potong bidang terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut : Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah : (0,0,6),(0,12,0),(18,0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 3 : Sketsa grafik fungsi Sketsalah grafik dari . Penyelesaian Mula-mula gambar grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan . Berikutnya gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda, misalnya z=1, z=2, z=3, dst., dengan daerah alas berbentuk lingkaran x^2/+/y^2/=/9-z/ Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 3(Lanjutan) Bila kita perhatikan kedua grafik ini, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 4 : Sketsa grafik fungsi . Sketsalah grafik dari . Penyelesaian Grafik ini ekivalen dengan grafik persamaan 2x^2+y^2+2z^2=4 di atas bidang z=0 Gambar dulu grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan y^2+2z^2=4 Gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 4 (lanjutan) Grafik persamaan f menjadi grafik elipsioda. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Kurva Ketinggian Untuk menggambar permukaan dari fungsi seringkali amat sukar. Cara lain yang lebih mudah adalah dengan menggambarkan peta kontur. Setiap bidang z=c memotong permukaan di suatu kurva. Proyeksi kurva ini di bidang-xy disebut kurva ketinggian. Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah yang disebut sebagai peta kontur. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 5 : Sketsa peta kontur Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3. Penyelesaian: Gambarlah kurva-kurva dari pada ketinggian z=-4; -3; -2; - 1; 0; 1; 2; 3; dan 4 Kurva-kurva ini berbentuk lingkaran. Peta kontur Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 6 Peta kontur untuk Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Limit dan Kekontinuan FMIPA Universitas Indonesia Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Limit Fungsi Dua Variabel Secara intuitif, ide limit untuk fungsi dua variabel serupa dengan ide limit pada fungsi satu variabel. Suatu nilai fungsi f(x,y) dikatakan mendekati L apabila (x,y) juga mendekati titik (a,b). Masalah : pada limit fungsi dua variabel, (x,y) menghampiri (a,b) dari segala arah. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Definisi: Limit Fungsi Dua Peubah Fungsi f(x,y) dikatakan memiliki limit L apabila (x,y) mendekati (a,b) jika: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap (x,y) di daerah asal f yang memenuhi maka Penulisannya adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Aljabar Limit Misalkan dan Maka: Jika m, n adalah bilangan bulat dan n≠0 , maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Aplikasi Aljabar Limit Bila sifat limit kita aplikasikan pada fungsi polinom atau fungsi rasional, maka menghitung limit fungsi apabila dapat dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di . Contoh: Carilah Penyelesaian: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Latihan 1. Carilah 2. Tunjukkan Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 7 Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan sebagai tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Penyelesaian: Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali di titik asal (0,0). Nilai f di sumbu-x, kecuali di titik asal, adalah Akibatnya, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 7 (lanjutan) Nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal dari sumbu-y adalah Jadi, fungsi f tidak memiliki limit di (0,0) karena terdapat sembarang titik dekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat dengan (0,0) memiliki nilai -1. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Uji Dua Lintasan untuk Ketakberadaan Limit Jika fungsi memiliki nilai limit yang berbeda dari dua lintasan mendekati , maka tidak ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Latihan Tunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Petunjuk: Carilah nilai fungsi f di garis y=mx, dengan m konstanta yang berubah-ubah dan x≠0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Penyelesaian Untuk setiap nilai m , fungsi f bernilai konstan sepanjang garis y=mx, x≠0 karena Nilai limit fungsi f pada saat y=mx berubah-ubah sesuai dengan nilai m, sebab Akibatnya, f tidak punya limit di (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Kekontinuan Fungsi f dikatakan kontinu di titik (a,b) jika f terdefinisi di (a,b) ada Fungsi f dikatakan kontinu apabila f kontinu di setiap titik di daerah asal. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Kekontinuan Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif atau perilaku tak terbatas di sekitar (a,b). Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang. Fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang kecuali di titik-titik yang memberikan nilai pembaginya sama dengan nol. Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa pembagi nol diabaikan). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

TURUNAN PARSIAL FMIPA Universitas Indonesia Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Parsial Bidang y=y0 (PQR) memotong permukaan z=f(x,y) di kurva z=f(x,y0) (busur QR). Kurva ini adalah grafik dari fungsi z=f(x,y0) yang merupakan fungsi satu variabel x. Turunan parsial f terhadap x di titik (x0,y0) adalah turunan biasa dari f(x,y0) terhadap x di x0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Arti geometri turunan parsial Nilai turunan parsial dari f terhadap x pada titik (x0,y0) memiliki arti geometri: Kemiringan kurva z=f(x,y0) (busur QR) di titik pada bidang y=y0 (PQR). ATAU Laju perubahan dari f di (x0,y0) terhadap x dengan menganggap y tetap yaitu y=y0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Definisi: Turunan Parsial Turunan Parsial terhadap x Turunan Parsial terhadap y Turunan parsial f(x,y) terhadap x pada titik (x0,y0) adalah dengan asumsi limitnya ada. Turunan parsial f(x,y) terhadap y pada titik (x0,y0) adalah dengan asumsi limitnya ada. Definisi: Turunan Parsial Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 8 : Mencari turunan parsial Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari Penyelesaian : Untuk mencari ∂f/∂x, pandang y sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap x : Untuk mencari ∂f/∂y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Latihan: Mencari turunan parsial Cari turunan parsial dan di dari Tentukan dan dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada fungsi satu variabel,jika fungsi terturunkan di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua atau lebih variabel, turunan parsial terhadap x dan terhadap y di suatu titik tidak menjamin kekontinuan fungsi di titik tersebut. Jika turunan parsial dari z=f(x,y) ada dan turunan parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang berpusat di (x0,y0), barulah kita katakan fungsi kontinu di (x0,y0). Perhatikanlah contoh berikut. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 9: Menunjukkan turunan parsial f ada tetapi f diskontinu Misalkan dan ada di titik asal (0,0), yaitu: Nilai f sepanjang garis adalah 0, kecuali di titik (0,0). Maka, Karena dan maka f tak kontinu di (0,0). Namun demikian, turunan parsial dan ada di titik asal (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Parsial Orde Dua Ada 4 macam turunan orde dua dari fungsi dua variabel Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 10 : Menghitung turunan parsial Carilah turunan parsial kedua dari fungsi Penyelesaian : Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Keterturunan Pada fungsi dua variabel, keterturunan juga berkaitan dengan eksistensi bidang singgung. Namun, keterturunan fungsi dua variabel memerlukan lebih dari sekedar turunan parsial yang hanya menyatakan perilaku f dari dua arah saja. Dengan demikian, eksistensi turunan parsial tidak menjamin keterturunan suatu fungsi dua variabel. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

ATURAN RANTAI FMIPA Universitas Indonesia Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Aturan Rantai Aturan Rantai Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 11 : Penggunaan aturan rantai Misalkan dengan , , carilah Penyelesaian Fungsi z ,x,dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 12 : Penggunaan aturan rantai Jika dengan, , carilah ∂z/∂s dan ∂z/∂t. Penyelesaian Karena fungsi x dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan dan z adalah fungsi logaritma yang juga terturunkan, maka ∂z/∂s dan ∂z/∂t ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 12 (lanjutan) Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Fungsi Implisit Misalkan mendefinisikan secara implisit y sebagai fungsi dari x. Maka turunannya: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 13 : Mencari turunan fungsi implisit Carilah dy/dx dari persamaan berikut : Penyelesaian Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut. Kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita peroleh nilai dy/dx, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

TURUNAN BERARAH & VEKTOR GRADIEN FMIPA Universitas Indonesia TURUNAN BERARAH & VEKTOR GRADIEN Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Berarah & Vektor Gradien Mencari turunan berarah dengan vektor gradien Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Berarah Turunan parsial fungsi dua variabel terhadap-x memiliki arti geometri sebagai laju perubahan f dalam arah i (arah sumbu- x) Bagian ini adalah mempelajari laju perubahan f dalam sebarang arah vektor u Limit ini, jika ada, adalah turunan berarah dari f di p dalam arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Arti geometri turunan berarah Vektor u menyatakan garis L pada bidang-xy yang melalui (x0, y0). Bidang yang melalui L dan tegak lurus bidang-xy memotong permukaan z=f(x,y) pada kurva C. Garis singgung di titik (x0, y0, f(x0, y0)) memiliki kemiringan Duf(x0, y0). Jadi, Duf(x0, y0) menyatakan laju perubahan f pada arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Vektor Gradien Misalkan dan turunan parsial di . Gradien dari f di p adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Arti geometri vektor gradien Gradien dari f di p , , adalah suatu vektor Di setiap titik pada domain, adalah vektor normal terhadap kurva ketinggian yang melalui Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Aljabar Gradien Perkalian dengan konstanta α Penjumlahan dan pengurangan   Perkalian Pembagian Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Mencari turunan berarah dengan vektor gradien Misalkan f terturunkan di Maka f mempunyai turunan berarah di p dengan arah vektor satuan dan yaitu Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Contoh 14 : Mencari turunan berarah Carilah turunan berarah dari di titik dengan arah Penyelesaian Gradien dari f adalah Gradien f di adalah Jadi, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

SELESAI Hanya digunakan di Universitas Indonesia