Distribusi Beta, t dan F

Distribusi Beta Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel random yang independen dan masing-masing mempunyai distribusi Gamma dengan parameter (α,1) dan (β,1), α>0, β>0. Maka, p.d.f dari X 1 adalah :

P.d.f dari X2 adalah : sehingga, p.d.f bersama dari X1 dan X2 adalah : Dimana α>0 dan β>0.

Misalkan Y1 = X1+X2 , Y2 = X1/(X1+X2). Akan ditunjukkan bahwa Y1 dan Y2 independen. - A={(x1,x2): h(x1,x2)>0}. Transformasinya : y1=x1+x2, y2=x1/(x1+x2) 1-1 dari A pada B ={(y1,y2):0 <y1< , 0 < y2 < 1}. Inversnya : x1= y1y2 , x2= y1(1-y2) Jacobian :

- Transformasi tersebut adalah transformasi satu-satu yang memetakan dari A ={(x1,x2):0<x1<∞, 0<x2< ∞} ke B ={(y1,y2):0<y1<∞, 0<y2< 1}. - Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah : g(y1,y2)=h(y1y2,y1(1-y2))|J|

Ini adalah pdf dari distribusi Beta dengan Karena g(y1,y2)=w(y1)v(y2) , maka Y1 dan Y2 independen Akan dicari pdf marginal dari Y2 . Ini adalah pdf dari distribusi Beta dengan parameter α dan β

Karena Y1 dan Y2 independen maka g(y1,y2)=g1(y1)g2(y2) pdf marginal dari Y1 adalah Yang merupakan pdf dari distribusi gamma dengan parameter (α+β) dan 1

Perhatikan distribusi dari Y2, yaitu distribusi beta dengan parameter α dan β. Dapat dibuktikan bahwa : Mean = Variansi =

Distribusi t Misalkan W~N(0,1) dan V~ Misalkan W dan V independen. Maka p.d.f bersama dari W dan V adalah :

Didefinisikan variabel random baru, yaitu : , akan dicari distribusi dari T Didefinisikan variabel random baru lagi yaitu U=V. A= {(w,v): } Sehingga transformasinya : Inversnya adalah :

Maka, Transformasinya adalah satu-satu yang memetakan dari A={(w,v): } ke B = {(t,u): }.

Maka, p.d.f bersama dari T dan U adalah :

p.d.f marginal dari T adalah : misalkan

Distribusi yang mempunyai pdf : Disebut berdistribusi t.

Distribusi F Misalkan U~ dan V~ Misalkan U dan V saling bebas. Maka, p.d.f bersama dari U dan V adalah :

Didefinisikan variabel random Akan dicari distribusi dari W Didefinisikan variabel random Akan dicari distribusi dari W. Untuk mencari distribusi dari W, didefinisikan variabel random baru yaitu Z=V. A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} transformasinya adalah : inversnya adalah :

Transformasinya adalah transformasi satu-satu dari A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} ke B={(w,z):0<w< ∞, 0<z< ∞}. Jacobian : atau

Maka, pdf bersama dari W dan Z adalah :

Pdf marginal dari W adalah : Misalkan,

Distribusi yang mempunyai bentuk pdf seperti diatas disebut distribusi F.

- Distribusi Beta mempunyai 2 parameter Note: - Distribusi Beta mempunyai 2 parameter - Distribusi t mempunyai 1 parameter yaitu r - Distribusi F mempunyai 2 parameter yaitu - Pada slide 18, baris kedua dari bawah, seharusnya z tidak ada lagi sesudah