Transformasi Laplace (Fungsi Tangga Satuan, Teorema Khusus dan Contoh Penggunaannya) Ellia Nuranti K. 10650032 Listya Widianingrum 10650044 Maulidiawati Sri W. 10650065 Aeny nurwahdah 10650073 Morwati 10650091

FUNGSI TANGGA SATUAN Definisi Fungsi tangga satuan (unit step function), juga dinamakan fungsi tangga satuan Heaviside. Didefinisikan sebagai berikut :   Perhatikan bahwa fungsi tangga satuan υ(t - a) ini dapat diinterpretasikan sebagai kondisi menekan tombol switch on dari suatu alat elektronik pada waktu t = a. saat t < a fungsi tersebut bernilai 0, sehingga merepresentasikan kondisi alat belum dinyalakan, saat ta fungsi bernilai 1 dan merepresentasikan kondisi alat sudah menyala.

Proposisi (Translasi pada sumbu - t) Jika F(s) = untuk s > c, maka   Bukti Pada langkah (*) digunakan substitusi τ = t + a, sehingga batas integralnya yang semula t = 0 sampai t = 0 berubah menjadi τ = a sampai τ =

BEBERAPA TEOREMA KHUSUS PADA TRANSFORMASI LAPLACE Teorema 1. Perkalian dengan suatu konstanta misal k adalah suatu konstanta dan F(s) adalah Transformasi Laplace dari f(f). kemudian, Teorema 2. Penjumlahan dan pengurangan misal F} (s) dan F0 (s) adalah Transformasi Laplace dari f} (i) dan /2 (0. kemudian,

Teorema 3. Diferensiasi misal F(s) adalah Transformasi Laplace dari (t) dan adalah limit dari dengan t mendekati 0. Transformasi Laplace dari turunan terhadap waktu adalah   Teorema 4. Integrasi Transformasi Laplace dari integral pertama terhadap waktu adalah Transformasi Laplace dari dibagi dengan s, yaitu :

CONTOH PENGGUNAAN TRANSFORMASI LAPLACE Teorema 5. Pergeseran terhadap waktu Transformasi Laplace dari yang ditunda dengan waktu T adalah sama dengan Transformasi Laplace dikalikan dengan e-Ts , yaitu : Dengan us = (t - T) menyatakan fungsi undak satuan yang digeser terhadap waktu ke kanan sebesar T.

Teorema 6. Teorema nilai awal Jika Transformasi Laplace f(t) adalah f(s) kemudian Teorema 7. Teorema nilai akhir Jika Transformasi (t) adalah F(s), dan sF(s) analitis pada sumbu khayal dan berada pada bagian kanan bidang s, kemudian

Teorema 8. Pergeseran kompleks Transformasi Laplace dari yang dikalikan dengan e±ar , dengan a merupakan suatu konstanta, akan sama dengan Transformasi Laplace, dengan s diganti oleh s±a, yaitu Teorema 9. Konvolusi nyata (perkalian kompleks) misal F1(s) dan F2(s) adalah Transformasi Laplace dari /j(t) dan /2(f), dan /1(t) = 0, /2(t)=0, untuk t<0 kemudian,

dengan symbol “*” menyatakan konvolusi dalam domain waktu. Persamaan diatas menunjukkan bahwa perkalian dari dua fungsi yang ditransformasikan dalam domain-s kompleks sama dengan konvolusi dari dua fungsi nyata t dalam domain-f. Suatu fakta penting untuk diingat adalah Transformasi Laplace balik dari hasil kali dua fungsi pada domain-s tidak sama dengan hasil kali dari dua fungsi nyata dalam domain t.

CONTOH PENGGUNAAN TRANSFORMASI LAPLACE Model Sistem Kendali Motor DC dengan Transformasi Laplace Ketika tegangan listrik disalurkan pada suatu motor DC, maka pada prinsipnya sistem yang terbentuk dapat digambarkan seperti Gb. 3 berikut.