Pertemuan 3 Determinan bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung determinan Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan bilqis

Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Fungsi Determinan  contoh:  A = 3 1 Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10 4 -2 B = 1 2 3 1 2 3 -4 5 6 -4 5 6 7 -8 9 7 -8 9  Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Untuk matrik yang lebih besara dari 3 x 3 tidak menggunakan rumus di atas, tapi harus menggunakna rumus lain. bilqis

Determinan  MatLab bilqis

Det matrix 4 x 4 Cari secara manual, atau dengan cara anda sendiri bilqis

Menghitung determinan dengan OBE Cara : è Ubah menjadi : - gauss (eselon baris) - matrik segitiga atas atau segitiga bawah OBE è determinan = perkalian diagonal utama bilqis

Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6 Teorema 2.2.2.: Bila A(nxn) matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6 “Bukti”: 2 7 -3 2 7 0 -3 7 0 -3 0 0 6 0 0   bilqis

Secara umum: untuk A(3 x 3) a11 a12 a13 a11 a12 a13 A = 0 a22 a23 0 a22 a23 0 0 a33 0 0 a33 diagonal utama + a11a22a33  0 – a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a32 – a13a22a31 bilqis

Perkalian OBE akan mempengaruhi nilai determinan => jika A' adalah matrik yang dihasilkan dari Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 , maka det(A') = k . det (A) Menukar 2 baris pada matrik A, maka det (A')= - det (A) Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 kemudian tambahkan pada baris yang lain, maka det (A')= det (A) OBE  1 dan 2  determinan berubah  3  determinan tidak berubah  paling sering digunakan bilqis

Contoh: 1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A)   1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A) det (A2) = - det (A) det (A3) = det (A) 4 8 12 A1 = 0 1 4 Det (A1) = -8 1 2 1   0 1 4 A2 = 1 2 3 Det (A2) = 2 1 2 1   1 2 3 A3 = -2 -3 -2 Det (A3) = -2 bilqis

2. menggunakan matriks segitiga atas Hitung det A dimana A = dengan menggunakan: 1. eselon gauss(baris) 2. menggunakan matriks segitiga atas bilqis

Eselon Baris (gauss) bilqis

bilqis

Sifat-sifat fungsi determinan bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

 Teorema Jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, Maka det (AB) = det (A) . det (b) Contoh : A = B = det (A) = 1 det (B) = -23 det (B) = -23 AB = det (AB) = -23 det (A) det (B) = -23 bilqis

 Teorema Sebuah matrik (A) n x n dapat dibalik jika det (A) <> 0 Det A-1 = Contoh : A = Determinan A = 2 – 12 = -10 A-1 = Determinan A-1 = bilqis

Ekspansi kofaktor ; Aturan Cramer Cij = (-1)i+j Mij Minor Det setelah baris ke - i & kolom ke - j dihapus A = bilqis

Kofaktor A = C11 = (-1)1+1 m11 + det bilqis

A = m11 = = 16  c11 = (-1)1+1m11 = + 16 m32 = = 26  c32 = (-1)3+2m32= - 26 3 1 -4 2 5 6 1 4 8 5 6 4 8 3 -4 2 6 bilqis

>> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor Catatan : det A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 atau det A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 Det A : 2 x 2  biasa 3 x 3  biasa ≥ 4 x 4  >> Gauss >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor bilqis

Cofactor expansion det(A) = a11C11+a12C12+a13C13, along 1st row = a11C11+a21C21+a31C31, along 1st column = a21C21+a22C22+a23C23, along 2nd row = a12C12+a22C22+a23C23, along 2nd column = a31C31+a32C32+a33C33, along 3rd row = a13C13+a23C23+a33C33, along 3rd column bilqis

Contoh bilqis

Contoh bilqis

Adjoin A  transpose dari matrix kofaktor A c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 bilqis

Contoh : Matrix A = Kofaktor A = Adjoin A = 3 2 -1 1 6 3 2 -4 12 6 -16 12 6 -16 4 2 16 12 -10 16 12 4 12 6 2 -10 -16 16 16 bilqis

Teorema 2.4.2.: A–1 = adj(A) Jika A matriks invertibel, maka 1 det(A) bilqis

Invers Matrix  A-1 = (1/det A) . adj A 12 4 12 6 2 -10 -16 16 16 12/64 4/64 12/64 6/64 2/64 -10/64 -16/64 16/64 16/64 bilqis

Pemecahan Persamaan Linier : Biasa Gauss Gauss Jordan Matrix Invers  >> dirubah menjadi  matrix identitas >> Adjoint Aturan Cramer OBE bilqis

Teorema 2.4.3 - Aturan Cramer: Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari det(Ai) xi = i = 1, 2, 3, …, n det(A) di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b bilqis

ATURAN CRAMER :  A . X = B det(A1) det(A2) det(An) Aj  mengganti kolom ke j dengan matrix B det(A1) det(A2) det(An) x1= , x2= … , xn= det(A) det(A) det(A) bilqis

Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 = A . X = B Det (A) = = -1 9 1 1 2 x y 2 4 -3 1 -5 z 3 6 2 1 1 2 4 -3 3 6 -5 bilqis

Det (A1) = = -1  x= det(A1)/det(A) = -1/-1 = 1 Det (A2) = = -2  y= det(A2)/det(A) = -2/-1 = 2 Det (A3) = = -3  z= det(A3)/det(A) = -3/-1 = 3 9 1 2 1 4 -3 6 -5 1 9 2 2 1 -3 3 -5 1 1 9 2 4 1 3 6 bilqis

PR 2.1  2, 3, 11, 14, 18, 20 2.2  4, 6, 9 2.3  1, 5, 7 bilqis