TRANSFORMASI PEUBAH ACAK P.MAT 2012 Bahan ajar Statistika Matematis Oleh: ENDANG LISTYANI

STATISTIKA MATEMATIS Referensi INTRODUCTION TO PROBABILITY ANG MATHEMATICAL STATISTICS Lee J. Bain Max Engelhardt Chapter 6 sd 9

Bab 6Transformasi Peubah Acak dan Statistik Urutan Bab 7 Distribusi Limit Bab 8 Distribusi Sampling Bab 9 Estimasi Titik Bobot Penilaian USEM 40% USIP 35% TUGAS 25%

Transformasi Peubah Acak Jika Y = u(X) merupakan fungsi satu-satu, maka Y mempunyai invers, yaitu X = = w(y) Teorema. (Untuk Peubah acak Diskret) Andaikan X peubah acak diskret dengan fp dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu, maka fp dari Y adalah y B, dengan

Transformasi Peubah Acak Diskret Bukti Misalkan XGEO(p), Jika Y = X  1, tentukan fungsi peluang untuk Y Jawab Y = X – 1 fungsi satu-satu sehingga Y mempunyai invers X = w(y) = y + 1 P(Y=y) = P(u(X) =y) Contoh

Transformasi Peubah Acak Diskret Sehingga

Transformasi Peubah Acak Diskret Soal 2 Misalkan X ~ Bin(n,3/4). Jika Y = 3X, tentukan f.p dari Y Jawab

Transformasi Peubah Acak Diskret Soal 3 Peubah acak X berdistribusi poisson dengan parameter Jika Y = ½ X – 3, tentukan fungsi peluang dari Y Jawab

Transformasi Peubah Acak Diskret Soal 4 Peubah acak Tentukan fungsi peluang dari

Langkah penyelesaian, menentukan: f.p bersama dari f.p bersama dari Y dan Z dengan Z = atau Z = 3. f.p batas/marginal dari Y

Penyelesaian

Penyelesaian y = 0,1,2, . . . z= 0,1,2, . . . z y

Transformasi Peubah Acak Teorema. (Utk p.a. Kontinu) Andaikan X peubah acak kontinu dengan fkp dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu dari ke dengan fungsi invers x = w(y). Jika turunan kontinu dan tidak nol pada B, maka fkp dari Y adalah y B

Transformasi Peubah Acak Bukti Jika Y=u(X) monoton naik P(Y≤ y) = P(u(X) ≤ y) = P(X ≤ )

Y=u(X) y u(X) x

Transformasi Peubah Acak Jika Y = u(X) monoton turun P(Y y) = P(u(X) y) = P(X > w(y)) = 1 – P(X w(y) ) = 1 -

y Y=u(X) u(X) x

Transformasi Peubah Acak Karena maka Soal 1 Jika X p.a. dengan f.p = 2x untuk 0 < x < 1, dan Y = 2x, tentukan f.p dari Y

Soal- soal Soal 2 Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x) untuk x >0 dan 0 untuk x yang lain, tentukan f.p dari Y = exp(-x) Soal 3 Jika p.a X ~ N(µ, ) dan Y = a + bX Tentukan f.p dari Y

Jika X p.a. dengan f.p f(x) = 2x untuk Penyelesaian Soal 1 Jika X p.a. dengan f.p f(x) = 2x untuk 0 < x < 1, dan Y = 2X, tentukan f.p dari Y Jawab w(y) = X= ½ y dx/dy= ½ f(y) = 2. ½ y . ½ = ½ y , 0 < y < 2

Penyelesaian Soal 2 Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x) untuk x >0 dan 0 untuk x yang lain, tentukan f.p dari Y = exp(-x) Jawab

w(y) = x = - ln y dx/dy = - 1/y

Penyelesaian Soal 3 Jika p.a X ~ N(µ, ) dan Y = a + bX Tentukan f.p dari Y Jika p.a X ~ N(µ, )

TRANSFORMASI P.A KONTINU BIVARIAT Dilakukan dengan langkah-langkah sbb Menentukan 1) fp bersama dari

4) Daerah batas untuk Y1 dan Y2

X1 dan X2 p.a salaing bebas dengan f.p Contoh X1 dan X2 p.a salaing bebas dengan f.p Tentukan fp dari Y1 = X1 + X2

Penyelesaian = 1

Daerah batas untuk Y1 dan Y2 x1>0 , 0< x2 <1 maka y1-y2 > 0 dan 0<y2<1 Y2 y1=y2 Y1

F.p bersama dari Y1 dan Y2

Soal 1)

Penyelesaian

Y2 y1=y2 Y1 y1=-y2