Riset Operasional Pertemuan 4 & 5 Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi Vivi Tri Widyaningrum,S.Kom, MT

Pendahuluan Dasar dalam pembahasan penyelesaian analitis persoalan optimasi ini adalah Mathematic (Simbolic) Model yang telah dipelajari sebelumnya.

1. Optimasi Tanpa Kendala Bentuk umum  Min f(x) f(x) adalah fungsi skalar yang didefinisikan pada ruang vektor x  Rn Penyelesaian dari persoalan diatas dapat dicari dengan cara sbb: bila x* adalah titik minimum maka f(x*) = 0 bila H(x*) adalah definit positif maka x* yang memenuhi syarat f(x*) = 0 adalah titik minimum

Contoh :

Penyelesaian :

 yang merupakan calon (kandidat) penyelesaian dari persoalan Lanjutan…  yang merupakan calon (kandidat) penyelesaian dari persoalan H (x*) = adalah definit positif  adalah titik minimum, dengan Z = 3x12 + 2x22 + 4x1x2 – 6x1 -8x2 + 6 = 3(-1)2 + 2(3)2 + 4(-1)(3) – 6(-1) – 8(3) + 6 = -3

Fungsi Konveks & Fungsi Konkav f konkav  -f adalah konveks fungsi linear  fungsi konveks & juga fungsi konkav f adalah konveks jika:  matriks Hessiannya adalah definit positif f adalah konkav jika:  matriks Hessiannya adalah definit negatif S adalah himpunan konveks jika:  himpunan yang kombinasi konveks dua dari anggotannya adalah anggota himpunan itu.

2. Optimasi Dengan Kendala Persamaan Bentuk umum : Min f(x) st hi(x) = 0; i = 1, 2, 3,…, n [st : subject to ( dengan syarat )  kendala] Contoh :

Lanjutan… tidak memenuhi h(x) = 0 Jadi bukan penyelesaian persoalan diatas x* adalah penyelesaian dari persoalan diatas  x*  A dimana = { x h(x) = 0 } A adalah himpunan titik–titik vektor x yang memenuhi semua kendala  A disebut daerah layak dari persoalan tersebut atau Feasible Region

Lanjutan… x* adalah penyelesaian dari  x*  A = { x h(x) = 0} dan f(x*)  f(x)  x  A Untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan kendala persamaan dipergunakan fungsi lagrange : Dengan ini persoalan optimasi dapat diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala dalam bentuk : Min L ( x ,  ) ( x*, * )  penyelesaian dari L ( x , )   L ( x*,* ) = 0

Contoh :

Penyelesaian :

Lanjutan… Calon penyelesaiannya adalah x* =

Lanjutan… Bila L(x,) adalah konveks maka x*  titik minimum yg dicari f(x*) adalah konveks karena H(x) definit positif h(x*) adalah konveks karena linear L ( x*, * ) = f(x*) + * h(x*) + 4h(x*) = konveks + konveks = konveks Jadi x* =  Titik penyelesaian

Lanjutan… Catatan : syarat perlu  L(x,) = 0 syarat cukup L(x,) harus konveks f(x) harus konveks h(x) dengan  positif harus konveks h(x) dengan  negatif harus konkav

Latihan Soal Min st