Pretest : Materi Kuliah 6: 15.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih 15.2 Limit dan Kekontinuan Pretest : Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f dengan

II. Jika ada, tentukan limitnya. Jika tidak ada, beri alasannya. Periksa kekontinuan fungsi berikut:

15.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih Definisi Daerah Asal dan Daerah Hasil Grafik (Gunakan Software Mathematica) Kurva Ketinggian Pada Subbab ini akan dikaji fungsi dua variabel dari 4 sudut pandang : Secara Verbal. Secara Numerik (Tabel Nilai). Secara Aljabar (Rumus Eksplisit). Secara Visual (Grafik/Kurva Ketinggian).

Definisi 1 (Fungsi f : D → R) : Suatu fungsi f dua variabel adalah suatu aturan yang memadankan setiap pasangan terurut (x,y) Є D ke tepat satu bilangan real z Є R yang dinyatakan sbg z = f(x,y). Himpunan D adalah daerah asal fungsi f dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai-nilai z Є R, ditulis { z | z = f(x,y), (x,y) Є D } Catatan : z = f(x,y) Variabel x dan y disebut variabel bebas. Variabel z disebut variabel tak bebas.

Contoh 1. 2 -2 y x

Contoh 2. Berikut ini contoh fungsi 2 variabel yang disajikan secara Verbal Banyaknya output suatu proses produksi (P) dipengaruhi oleh banyaknya buruh yang terlibat (P) dan banyaknya modal yang ditanamkan (K).

b) Numerik Tahun P L K 1910 159 147 208 1911 153 148 216 1912 177 155 226 1913 184 156 236 1914 169 152 244 1915 189 266 1916 225 183 298 1917 227 198 335 1918 223 201 366 1919 218 196 387 1920 231 194 407 1921 179 146 417 1922 240 161 431

Kurva Ketinggian Definisi 2 (Kurva Ketinggian) : c) Aljabar: Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, didapat rumus eksplisit d) Visual Kurva Ketinggian Definisi 2 (Kurva Ketinggian) : Kurva ketinggian dari fungsi dua variabel f adalah kurva-kurva dengan persamaan f(x,y) = k, dengan k adalah konstanta dalam daerah hasil.

Contoh 4: soal no 31, halaman 339. K Taksir nilai fungsi P(200,100) P(100,200) 300 200 100 100 200 300 L Contoh 4: soal no 31, halaman 339. Taksir f(-3,3), f(3,-2), dan f(2,2).

15.2 Limit dan Kekontinuan Definisi 3 (Limit Fungsi Dua Variabel) : Misalkan f fungsi 2 variabel dengan daerah asal D yang mencakup titik-titik yang dekat dengan (a,b). Dikatakan

Ilustrasi : y (x,y) f  D (a,b) ( ) x (0,0) L-ε L L+ε

Contoh 5.

Contoh 6. Contoh 7.

Contoh 8.

Kekontinuan Definisi 4 (Kekontinuan Fungsi Dua Variabel) :

Contoh 9. Contoh 10.

Contoh 11.

Post Test: I. Diketahui fungsi f dengan f(x,y) = x2y + 1. Tentukan f(1,-3), f(0,0) dan f(3a,a). II. Tentukan daerah asal dan daerah hasil (daerah nilai) fungsi f berikut

III. Sketsakan kurva ketinggian dari fungsi f dengan f(x) = x2 + y2, untuk nilai k = 1, 4 dan 16. IV.Jika ada, tentukan limitnya. Jika tidak ada, beri alasannya. Periksa kekontinuan fungsi berikut.

Latihan 15.1 (hal 337 – 341) Nomor : 3, 10, 16, 30, 44 Latihan 15.2 (hal 349 – 350) Nomor : 4, 7, 12, 17, 30