Fungsi Non Linier Segaf, SE.MSc.

Fungsi Kuadrat Bentuk Umum Gambar suatu fungsi kuadrat dpt berupa: Lingkaran (Circle) Ellipse Hyperbola parabola

Identifikasi Persamaan Kuadrat (Identification of Quadratic Equality) Bentuk persamaan kuadrat yg lebih lengkap: Setidaknya salah satu “a” atau “b” tidak sama dengan nol. Jika p = 0 dan a = b, ≠ 0  circle curve Jika p2 – 4ab < 0  ellipse curve Jika p2 – 4ab < 0  hyperbola curve Jika p2 – 4ab = 0  parabola curve

Lingkaran (Circle) Lingkaran  tempat kedudukan titik-titik tertentu yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yg disebut “titik pusat”. Jarak titik-titik tersebut terhadap pusat disebut “Jari-Jari Lingkaran”. Bentuk umum persamaan lingkaran : Jika Jari-Jari Lingkaran = r,  i dan j adalah jarak pusat lingkaran thd sumbu vertikal y dan x  pusat lingkaran (i , j).

Contoh Lingkaran Tentukan pusat & jari-jari lingkaran ! 3x2 + 3y2 - 24x - 18y – 33 = 0 Tentukan juga perpotongan pd sumbu Y & X !

Penyelesaian Lingkaran

Gambar kurva lingkaran (4,3) j=3 9,19 -1,47 -1,19 i=4 7,47 r =6 3X+ 3Y- 24X – 18Y = 33 X Y

Short Key Lingkaran

Ellipse Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs. Bentuk Umum Persamaan Elips : a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a ≠ b Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut : jika r1 = r2 maka akan menjadi lingkaran.

Contoh Elips Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :  8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2 4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9 4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9 4 X 2 - 16 X + k + Y 2 - 6 Y + k = - 9 + k + k (4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9 4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16 Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r1 = 2 dan r2 = 4 Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 ) Karena r1 < r2 maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y r1 adalah jari-jari pendek dan r2 adalah jari-jari panjang

Lanjutan penyelesaian 8x2+2y2+32x-12y+18=0 0,68 3,32 2,3 -1 3 7 y x

Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.  Bentuk umum persamaan hiperbola :  a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara : dimana sumbu lintang // sumbu X, atau dimana sumbu lintang // sumbu Y   dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

Parabola Parabola  tempat kedudukan titik-titik yg berjarak sama thd sebuah titik fokus & sebuah garis lurus yg disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sumbu simetri & sebuah titik ekstrim. Bentuk umum persamaan parabola: Salah satu “a” atau “b” = 0 (tp tidak keduanya).

Arah & Titik Ekstrim Parabola (Direction & Extreme Point of Parabola)

Gambar Arah Parabola (Direction of Parabola) y x a < 0 a > 0 y x a < 0 a > 0

Contoh Soal Parabola Tentukan titik ekstrim parabola (find extreme point)  y = -x2 + 6x – 2 Tentukan perpotongannya (find the intercept) dg sumbu koordinat & gambarkan kurvanya Penyelesaian (Answer): Sumbu simetri sejajar sumbu Y Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah. Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik koordinat :   =( 3 , 7 )

Lanjutan penyelesaian Perpotongan (intercept) dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0  Y = - 2 Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0  0 = - X 2 + 6 X – 2 Dengan menggunakan rumus abc (with quadratic formula) diperoleh X = 5,65 dan X = 0,35 Y 3,7 X=3 y = -x2 + 6x - 22 0,35 5,65 X -2