Derivatif Parsial (Slide 2) Dosen Pengampu Dra. Harmastuti M.Kom by.tuti & Kris ISTA Yogyakarta

Dalam pertemuan ini akan dibahas Pengantar Dalam pertemuan ini akan dibahas derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih dan aplikasinya. Untuk mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa telah mengambil matakuliah kalkulus 2 yang berkaitan dengan derivatif dan integral . by.tuti & Kris

Derivatif Parsial (pertemuan 2) 1. Derivatif fungsi dua perubah 2. Derivatif parsial tingkat n 3. Diferensial Total 4. Aplikasi derivatif parsial by.tuti & Kris

1.Derivatif Fungsi dua Perubah Derivatif Parsial. Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu. by.tuti & Kris

Derivatif Fungsi dua Perubah Definisi 2.1 i). Derivatif parsial terhadap perubah x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x sbb : by.tuti & Kris

Derivatif Fungsi dua Perubah ii). Derivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y sbb : disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y. by.tuti & Kris

Menentukan nilai derivatif Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limit a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka by.tuti & Kris

Menentukan nilai derivatif b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y by.tuti & Kris

Menentukan nilai derivatif Contoh 2.2. Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu Selanjutnya tentukan nilai by.tuti & Kris

= = 2 z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y Lanjutan Contoh 2.2. z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y dan maka : = = 2 by.tuti & Kris

2. Dreivatif Parsial Tingkat n Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb: by.tuti & Kris

Menentukan nilai derivatif parsial tingkat n Contoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4 x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 by.tuti & Kris

3.Diferensial Total z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y dan dengan mengambil dx = x dan dy = y. diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sbb : by.tuti & Kris

Diferensial Total n variabel 1. Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka dz = + + … + 2. Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent. by.tuti & Kris

Contoh soal diferensial total Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk r = s2θ + 3 sθ2 by.tuti & Kris

Contoh soal diferensial total by.tuti & Kris

4. Aplikasi Derivatif Parsial Contoh 2.6. Diketahui R = R(E,C) = Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan yang dialami R dan tentukan nilai R Jawab : Langkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan C Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 3. Tentukan perubahan yang dialami R subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus ) Langkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan R by.tuti & Kris

Soal-soal Latihan 1.Derivatif fungsi dua perubah by.tuti & Kris

Soal-soal Latihan 2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif parsial by.tuti & Kris

Resume Derivatif Parsial: by.tuti & Kris

Resume Derivatif Total by.tuti & Kris

Meteri pertemuan selanjutnya Derivatif fungsi composit, Derivatif parsial menggunakan determinan Jacobi. Transformasi koordinat (mapping one to one ). by.tuti & Kris