Persamaan diferensial (PD) Sutarsi, S.TP, M.Sc 2013

Definisi Persamaan Diferensial (PD): Adalah hubungan peubah bebas (x) dan peubah tak bebas (y) yang memuat paling sedikit 1 (satu) turunan/derivative atau diferensial y terhadap x Dlm penelitian sering ditemukan hubungan khas antara peubah bebas (x) dan peubah tak bebas (y) hubungan tersebut adalah persamaan diferensial Menyatakan hubungan dinamik, hubungan yang memuat besaran-besaran yang berubah sehingga PD sering muncul dalam persoalan ilmu pengetahuan dan teknik PD dapat dibentuk dari pengkajian persoalan fisik yang dinyatakan dalam persamaan matematik

Contoh:

ORDER (tingkat) dari suatu PD: diambil dari tingkat derivatif yang tertinggi. Misal:  PD tingkat 3  PD tingkat 1  PD tingkat 2

DEGREE (pangkat) dari suatu PD: diambil dari pangkat derivatif tingkat yang tertinggi. Misal:  PD tingkat 2, pangkat 1  PD tingkat 2, pangkat 4  PD tingkat 3, pangkat 2

Sifat Peubah dlm PD Peubah terpisah Peubah belum terpisah, tapi mudah dipisahkan Berubah menjadi

MACAM-MACAM PERSAMAAN DIFERENSIAL PD tingkat 1, pangkat 1 Peubah-peubah sudah terpisah Peubah-peubah belum terpisah dan mudah dipisahkan Peubah-peubah belum terpisah dan sulit dipisahkan PD Homogen PD Linier PD Eksak PD Bernoulli PD tingkat 2, pangkat 1 PD linier homogen PD linier non homogen PD Euler atau Cauchy PD Legendre PD Bessel

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Orde I Cara pemecahan persamaan diferensial order 1 dan pangkat 1 melalui: Integrasi langsung Pemisahan variabel Subtitusi y=v.x (persamaan homogen) Transformasi Laplace Mencari fungsi yang memenuhi suatu persamaan itu, artinya yang membuat persamaan itu benar Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga semua diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x. Penyelesaian persamaan diffrensial atau mencari jawab persamaan diffrensial artinya mencari atau menghitung jawaban (solusi) umum maupun khusus dari persamaan diferensial yang diberikan.

I. PD tingkat 1, pangkat 1 Bentuk Umum:

Cara pemecahan PD Orde 1 tingkat 1 dibedakan atas beberapa keadaan: I.1 Peubah-peubah sudah terpisah dgn Integrasi Langsung Bentuk Umum: Cara penyelesaiannya langsung diintegralkan

Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:

I.2 Peubah-peubah belum terpisah dan mudah dipisahkan dgn Pemisahan Variabel Bentuk Umum: Untuk memisahkannya dibagi g1(y).f2(x) Selanjutnya diintegralkan untuk mencari penyelesaiaannya

Contoh: Tentukan penyelesaiaan PD berikut:

1.3 Persamaan Homogen dgn Subtitusi y=v.x Bentuk Umum: Disebut PD homogen jika bisa dibawa kebentuk:

Penyelesaian PD Homogen: Integralkan

1.4 Penyelesaian PD dgn Transformasi Laplace Jika cara persamaan homogen tidak dapat dilakukan, maka salah satu cara yang sering dipakai adalah transformasi Laplace.

Selesaikan PD berikut:

PENERAPAN PD I

Banyak kejadian alam dan hukum alam yg dpt dirumuskan sebagai persamaan diferensial dlm rangka usaha penyelesaiaannya Beberapa kasus dapat diselesaikan dgn PD orde 1 Dlm hal ini yg penting adlh bagaimana menyatakan proses alam dalam notasi matematika yang lebih mudah dipahami dan diselesaikan

Gejala fisik Pemodelan/transformasi Model Matematis

Proses peluruhan unsur radioaktif Pendinginan (Hukum Pendinginan Newton) Aliran air melalui pipa (hukum Torricelli) Pertumbuhan eksponensial Rangkaian listrik (Hukum Kirchoff) (PD linier)

1. Proses peluruhan radioaktif Unsur radioaktif akan meluruh dgn laju peluruhan yang sebanding dengan banyaknya unsur tersebut yang belum meluruh. Umpamanya sejumlah x unsur radioaktif pada waktu t berada di suatu tempat, maka laju peluruhan= banyaknya/kecepatan unsur yang meluruh terhadap waktu adalah:

Laju peluruhan menurun dgn berkurangnya unsur radioaktif , x) Persamaan di atas adalah PD terpisahkan yg cara penyelesaiannya telah diketahui

2. Proses Pendinginan Apabila suatu benda mendingin di dalam suatu medium (udara, air) maka laju pendinginan akan ditentukan oleh perbedaan suhu benda dengan suhu medium tersebut. Hukum pendinginan dari Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu benda berbanding lurus dengan beda suhu benda tersebut dengan mediumnya

Jadi apabila u(t)=suhu benda pada waktu t, maka Dimana: u = suhu benda um = suhu medium (lingkungan disekitar benda) k = konstanta t = waktu

Terima Kasih