Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p. MATEMATIKA Integral

Konsep INTEGRAL MATEMATIKA Integral

Teorema- teorema dalam Integral tak tentu BENTUK UMUM Integral tak tentu  dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c : konstanta  f (x)dx =F(x)+ c Teorema- teorema dalam Integral tak tentu TEOREMA 1 TEOREMA 2 Jika n bilangan rasional dan n 1, maka , dengan c adalah konstanta Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka òk f(x)dx=k  f(x) dx TEOREMA 3 KELINIEARAN Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan,maka  f(x) ± g(x) dx =  f(x) dx ±  g(x) dx TEOREMA 4 ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI TEOREMA 1 TEOREMA 2 TEOREMA 3

BENTUK UMUM Integral tentu Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : Jika f kontinu pada [a,b], maka dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.

 f(g(x)) g'(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c INTEGRAL Metode subtitusi Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu anti-turunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka  f(g(x)) g'(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut 1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga  f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du 2. Tentukan  f(u) du

INTEGRAL TRIGONOMETRI Metode subtitusi Bentuk  sinn x dxdan  cosn x dx Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan factor sin x atau cos x, gunakan persamaan Sin 2 x + cos 2 x = 1 Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut : Bentuk  sinm x cosn x dx Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan factor sin x atau cos x,kemudian gunakan : Sin 2 x + cos 2 x = 1 Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut :

INTEGRAL TRIGONOMETRI Metode subtitusi Bentuk  sinax cosbx dx ,  cosax sinbx dx ,  sinax sinbx dx ,  cosax cosbx dx Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan berikut ini : 1. 2. 3. 4.

INTEGRAL Metode PArsial Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial. Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan.  u dv = u. v -  v du Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan. Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu : 1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v =  dv 2. òu du harus lebih mudah diselesaikan daripada  udv

INTEGRAL Menghitung luas daerah Untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva atau garis dalam suatu selang tertentu dapat digunakan Konsep Integral Reiman (Metode potong, hampiri dan integralkan / metode polygon).

INTEGRAL Diketahui Nilai =…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 Contoh Soal-soal Diketahui Nilai =…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 PENYELESAIAN ( substitusikan nilai batas bawah dan atasnya ) ( jika kedua ruas dikalikan dengan ( – ) akan didapat ) ( gunakan suku banyak untuk mendapatkan nilai a ) Untuk menentukan nilai a dapat dicari dengan menentukan faktor dari perkalian koefisien a3 dan a0 yaitu 1 dan –14. Faktor – faktor yang mugkin adalah : ±14, ± 7 , ±2, ±1 . Karena nilai a yang memenuhi adalah 2 maka ilai ½ a = 1

INTEGRAL Nilai a. b. c. d. e. PENYELESAIAN Contoh Soal-soal Nilai a. b. c. d. e. PENYELESAIAN ( rubah ilai sin 2x menjadi 2 sin x cos x ) ( buat permisalan p = cos xKemudian diturunkandp = –sin x dx ) Substitusi nilai batas atas dan bawahya

INTEGRAL Hasil dari a. x2 sin x + 2x cos x + C Contoh Soal-soal Hasil dari a. x2 sin x + 2x cos x + C b. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C c. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C e. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C PENYELESAIAN diturunkan Diintegralkan X2 + 1 Cos x 2x Sin x + 2 – cos x – – sin x

INTEGRAL Contoh Soal-soal Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas. a. c. e. b. d. PENYELESAIAN L= = Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potong kedua kurva. Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x2 2x = 8 – x2 x2 + 2x – 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = –4 atau x = 2 =

INTEGRAL = Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, Contoh Soal-soal Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum. a. c. e. b. d. PENYELESAIAN y = x2 dan x + y – 2 = 0 ( y = 2 – x ) Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya. x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = – 2 atau x = 1 V = = =

Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p MATEMATIKA Integral