INTEGRAL TAK TENTU

Rumus umum integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral C = konstanta F = hasil integral dari f(x)

Perbedaan integral tentu dan tak tentu  bilangan Integral tak tentu  fungsi

Penerapan Integral dalam Ilmu Sains Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t. perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2

massa dari ruas batang yg terletak Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt [C](t2)-[C](t1) perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2 Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x) massa dari ruas batang yg terletak diantara x=a dan x=b

Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2 Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

Daftar diferensial dasar vs integral baku

Rumus dasar Sifat-sifat :

Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka Contoh :  x4 dx = ???? g(x) = x r = 4

f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx Teknik pengintegralan INTEGRAL SUBSTITUSI Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan Aturan substitusi Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx u du

1. Hitunglah

1. Hitunglah u=2x+1 du=2 dx dx=1/2 du

INTEGRAL PARSIAL Bila integral substitusi GAGAL  integral parsial Integral parsial : suatu metode yg didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsi Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh u(x) v(x) =  u(x) v’(x) dx +  v(x) u’(x) dx

atau  u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) -  v(x) u’(x) dx krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu  u dv = u v - v du Pengintegralan Parsial Tentu

Gambar diagram u dv=uv-vdu

1. Tentukan

1. Tentukan u = ln x du = 1/x dx dv = dx v = x

INTEGRAL TRIGONOMETRI

INTEGRAL TRIGONOMETRI Strategi untuk menghitung  sinmx cosnx dx Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1), simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinus sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx = sinmx (1-sin2x )k cos x dx kemudian substitusikan u=sinx du=cosx dx

2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinus sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx = (1-cos2x)k cosnx sin x dx kemudian substitusikan u = cosx du= -sin x dx NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)

3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudut-paruh sin2x = ½ (1-cos 2x) cos2x = ½ (1+cos2x) sinx cosx = ½ sin 2x

1. Tentukan cos3x dx

untuk mempermudah dijabarkan menjadi: 1. Tentukan cos3x dx untuk mempermudah dijabarkan menjadi: cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x cos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx misal : u = sin x du= cos x dx cos3x =  (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C

Strategi untuk menghitung  tanmx secnx dx Jika pangkat secan  bil.genap (n=2k), simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx = tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx kemudian substitusikan u = tan x du=sec2 x dx

2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx =  (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx kemudian substitusikan u = sec x du=tan x sec x dx

ingat, sec2x = 1 + tan2x misal u=tan x du = sec2x dx