MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui. Contoh PD orde satu variabel terpisah Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah atau f(x)dx + g(y) dy = 0 atau Persamaan diferensial linier orde dua

Contoh penerapan Hukum Pendinginan Newton Hukum Newton menyatakan bahwa laju perubahan laju pendinginan suhu benda sebanding dengan selisih suhu antara benda dan medium yang mengelilinginya. Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah suhu benda pada saat t, Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju perubahan suhu pada saat t, dan k faktor pembanding maka, Rangkaian Listrik R-L Pada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i(t) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t, dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh :

PENERAPAN INTEGRAL TENTU Contoh 1 Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3. Luas Bidang Datar Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar Jawab y y=f(x) f(x) = 4x2 – x3 R f(xi) f(xi) x x=a x=b xi x=1 x=3 Luas empat persegi panjang Ai=f(xi) xi, a  xi  b Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1  xi  3

Contoh : f(x)=x3 – 2x2 – 8x A(R1) –2 0 4 A(R2)

Luas diantara dua kurva Misalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar Prosedur Menghitung Luas Daerah Langkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu y Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya. Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu. Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang. Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3. Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu. xi y=f(x) R f(x)-g(x) y=g(x) x x=a x=b Luas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a  xi  b

Contoh 2 Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 – x3, dan x+y = 4. Jawab : Sketsa grafik R lihat gambar berikut Menghitung A(R) A1 = [g(xi)-f(xi)]xi = [(4-xi)-(4xi2 – xi3)]xi, -1xi 1 y f(x) = 4x2 – x3 R2 A2 R1 A2 = [f(xi)-g(xi)]xi = [(4xi2 – xi3)-(4-xi)]xi, 1xi 4 A1 g(x)=4-x x x=4 x=-1 x=1 Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 -x3 X3-4x2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4

Contoh : f(x)=x3 – 2x2 – 8x –3 –2 0 1 4 A(R1) A(R2) g(x)=3x – 12

Fungsi Densitas : Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini : f(x)  0 Mean dan variannya diberikan oleh :

TUGAS LUAS BIDANG DATAR Soal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini: (a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3. (c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0. Soal 4. Hitunglah luas segitiga dimana titik-titik sudutnya adalah : (a). (1,2), (7,4), dan (-1,8) (b). (2,1), (6,5), dan (0,8) Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah (a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7) (b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9) Soal 1 Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh (i) f(x) = k x (2 – x)4, 0 x  2 (ii) f(x) = kxa(8 – x3) 0  x  2 (III) f(x) = kxb(4 – x2), 0 x  2 Hitunglah nilai k Berapa, P(x>1) Hitunglah E(x) dan varian Soal 2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva, berikut dengan sumbu x f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1) f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)

Volume Benda Pejal, Metode Silinder Perhatikanlah sketsa silinder berikut ini Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. y r xi h=xi y=f(x) R f(xi) r=f(xi) V=r2h h x x=a x=b h Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = r2h =[f(xi)]2xi, axib Jadi : r2 r1

Contoh 3 : Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb x Jawab Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5 Jawab y y=1+(x-1)2 h=xi R x=1 x=3 r=f(xi) x=1 x y=5 x=3 R r=5-f(xi) V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3 y=1+(x-1)2 x V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3

Metode Cincin, Silinder Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x)  g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metode demikian disebut metode cincin y y xi y=f(x) h=xi R f(x)-g(x) r2=f(x) y=g(x) r1=g(x) x x=a x=b Dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = [f(xi)2–g(xi)2]xi,axib

Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu x Karena, A  SP . dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = [f(x)2–g(x)2]x,1x4 = [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4 Jadi, y=g(x)=(x-3)2+1 h=xi y=f(x)=6-x r2=f(x) R r1=g(x) x a=1 b=4

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6 Karena, A  SP, Dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4 = {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x, = {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4 Jadi, y y=6 y=f(x)=6-x r1=6-f(x) r2=6-g(x) h=xi R y=g(x)=(x-3)2+1 x a=1 b=4

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1 Karena, A  SP, maka dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4 = {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x, = {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4 Jadi, y y=f(x)=6-x h=xi r2=f(x)-1 R r1=g(x)-1 y=1 y=g(x)=(x-3)2+1 x a=1 b=4

Metode Sel Silinder Perhatikanlah sel silinder berikut ini Volume sel silinder adalah : V = r22h – r12 h = [r22 – r12 ] h = (r2 + r1)(r2 – r1)h r2 r1 h r Jika diambil r = r2 – r1 r1 : jari-jari dalam r2 : jari-jari luar r : jari-jari rata-rata h : tinggi silinder Dihasilkan rumus V = 2  r h r

Volume benda pejal, Metode Sel Silinder Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Contoh 5 : Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap y Jawab r=xi y=f(x) R r=x r=xi h=f(x) r=x h=f(x) x=a x=b R Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = 2rhr = 2x f(x)x, axb Jadi : x=1 x=3 V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3 Jadi,

Metode Sel Silinder Lanjutan Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x)  g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder y y r=x xi y=f(x) R r=x h=f(x)-g(x) h=f(x)-g(x) y=g(x) x x x=a x=b Dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, axb

Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu y Karena A // SP, maka dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4 Jadi, y y=6-x R r=xi r=x h=f(x)-g(x) y=(x-3)2+1 x x=1 x=4

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1 y=6-x y=6-x r=xi h=f(x)-g(x) h=f(x)-g(x) x r=4-x r=xi r=x-1 R x y=(x-3)2+1 y=(x-3)2+1 1 x=1 x=4 x=1 x=4 Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi, Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,

Prosedur Menghitung Volume Banda Pejal Langkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut : Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral). Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R. Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan : (a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar (b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar. Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3. Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu.

Momen dan Pusat Massa Misalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x)  g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah , Andaikanlah, pusat masaa lamina y y=f(x) xi R dimana,  y=g(x) xi x My : moment terhadap sumbu y Mx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina x=a x=b

Contoh 5 Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab : y=6-x xi y=f(x) xi  y=g(x) y=(x-3)2+1 Jadi, x=1 x=4

Teorema Pappus Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh, V = 2 r A dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.

Tugas Khusus Volume Benda Putar Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 dan garis lurus yang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap : (a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6 Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap : a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3   Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah, a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = b b. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a

Tugas Massa dan Pusat Massa Soal 4 Perhatikanlah gambar daerah berikut ini Hitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap : (a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1 (c). Garis, x=a – 3 (d). Garis, x = a + 2 Gambar Soal No. 4 Soal 5. Tugas Massa dan Pusat Massa Untuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstan Hitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus.