AKUISISI DATA PENGANTAR Rudiyanto dan Budi Indra Setiawan Departemen Teknik Pertanian Institut Pertanian Bogor Bogor, 3 Mei 2007

Interface (ADC) Pressure transducer Akuisisi data digital Komputer

Mengukur Pengukuran adalah kegiatan memberikan nilai numeris atas sebuah besaran dengan bantuan alat-ukur yang sudah disepakati. Besaran yang diukur dapat bersifat tunggal (skalar), dapat juga bersifat jamak (vektor). Dalam mengukur besaran keadaan mempunyai unsur ketidak-pastian.

Ketidak-pastian tidak dapat diperhitungkan dengan baik namun berpengaruh dalam hasilnya Nilai yang dihasilkan oleh proses pengukuran hanyalah nilai terukur, yaitu yang dilaporkan oleh alat ukur, dan bukan nilai yang sebesarnya Nilai sebenarnya tetap tak terjangkau dan “tersembunyi” Usaha untuk membuat taksiran yang tepat atas nilai sebenarnya dilakukan dengan membuat pengukuran berkali-kali, agar tingkat ketidak-pastian informasi dapat ditekan sekecil-kecilnya

Mengukur dipandang dari segi teori probabilitas Dalam teori probabilitas (statistik) sebuah nilai yang tampil sebagai hasil sebuah pengukuran hanyalah sebuah pemunculan dari sejumlah besar nilai yang dapat muncul dalam pengukuran sebuah besaran. Menurut teori probabilitas populasi nilai itu (dengan beberapa perkecualian) senantiasa mengikuti pola yang tetap dan pasti yaitu distribusi normal (distribusi Gauss)

Distribusi Normal (distribusi Gauss) Pola distribusi normal itu memiliki dua besaran penting, yaitu: nilai rata-rata atau nilai memusat , dan nilai varians atau penyebaran nilai-nilai itu dari nilai rata-ratanya Nilai rata-rata sering juga disebut nilai harapan, sebab nilai itu mengungkapkan harapan akan nilai yang sebenarnya akan kesempatan muncul “dari persembunyiannya”

FILTER KALMAN Rudiyanto dan Budi Indra Setiawan Departemen Teknik Pertanian Institut Pertanian Bogor Bogor, 3 Mei 2007

Observasi (pengukuran) Observasi [y(t)] adalah jumlah dari sinyal [x1(t)] dengan noise [x2(t)] Observasi {y(t0),…..y(t)}; Jika t1<t  Interpolation (smoothing) Jika t1=t  Filtering  mengurangi noise Jika t1>t  Prediction

Kalman Filter Kalman filter awalnya digunakan untuk estimasi state x pada time discrete controlled process yang diatur oleh persamaan diffrensial linear xk+1 = Ak xk + B uk + vk Dimana A dan B adalah matrix, u input yang berfungsi sebagai kendali, dan v derau proses. Derau ini secara statistis juga bersifat tak gayut satu sama lain, terdistribusi normal, dengan nilai rata-rata nol dan kovarians Q=cov(uk). Dengan perkataan lain, v ~ N(0,Qk). Jika Pk = cov(xk), maka operasi kovarians persamaan diatas hasilnya adalah Pk = Ak Pk-1 AkT + Qk

Nilai z yang ditampilkan oleh sebuah alat ukur yang mempunyai dua komponen, yaitu x yang memang harus diukur dan nilai lain w yang datang ke dalam alat ukur itu sebagai gangguan/derau pengukuran. Secara matematis z merupakan kombinasi linear dari x dan w: zk = Hk xk + wk Derau atau gangguan wk pada umumnya disepakati memiliki sifat statistis tak gayut satu sama lain, terdistribusi normal dengan nilai rata-rata nol dan memiliki matrix kovarians Rk = cov(wk),. Secara singkat biasanya ditulis wk ~ N(0,Rk). Operasi kovarians atas persamaan ini menghasilkan Sk = Pk Hk PkT + Rk Dimana Pk = cov(xk) = kovarians vector keadaan, dan Sk = cov(zk) = kovarians (data) pengukuran

Perhitungan rata-rata [μ] mendasari filter Kalman Cara pertama sifatnya konvensional dan nonrekursif: Cara kedua, yang rekursif, memanfaatkan hasil dari n buah data yang pertama . Dimana K = 1/(n+1)

Disini K berfungsi sebagai faktor pembobot, sebab nilai rata-rata yang baru μn+1 sekarang diperoleh sebagai hasil operasi kombinasi linear dari nilai yang lama μn dan suatu “pengkoreksi” (xn+1 – μn). Hasil lama diberi bobot 1 dan “koreksi” diberi bobot K. Konkretnya K merupakan bobot seberapa jauh koreksi harus dilakukan atas hasil lama, untuk memperoleh hasil yang baru. Dalam teknik filter Kalman cara rekursif dikawinkan dengan operasi kombinasi linear atas hasil komputasi lama dan “inovasi” yang muncul oleh kehadiran data baru.

Varians [σ2] Marilah kita periksa gagasan ini lebih jauh dengan membayangkan tersedianya dua buah alat ukur untuk mendapatkan nilai dari sebuah besaran. Misalkan alat ukur pertama melaporkan nilai x1, dan alat ukur kedua memberi x2. Misalnya diketahui bahwa alat ukur pertama memiliki kecermatan pengukuran dengan varians σ12 dan alat ukur yang lain kecermatan pengukurannya bervarians σ22. Anggap pola distribusi kesalahannya sama dan Gaussian.

Jika kedua instrumen itu sama cermatnya, dari kedua nilai itu cukup diambil nilai rata-ratanya. Akan tetapi jika instrumen pertama diketahui lebih akurat dari instrumen kedua, artinya σ12 << σ22, sangat bijaksana jika kita memilih x1 sebagai taksiran atas nilai sebenarnya. Demikian juga sebaliknya. Dalam situasi umum pantaslah jika dibuat taksiran yang merupakan kombinasi linear dari kedua data pengukuran tersebut. Selanjutnya ada nasehat dari orang bijak, agar data pengukuran diberi bobot kebalikan dari varians instrumennya. Dengan cara itu kita memberi bobot yang lebih besar kepada data yang dihasilkan oleh instrumen yang memiliki kecermatan tinggi.

Taksiran x* dihitung dengan rumus Dapat diartikan bahwa hasil akhir sesudah taksiran adalah data lama dikoreksi oleh “inovasi” dengan data pengukuran baru.

Varian Gabungan Rapat probabilitas gabungan memusat di Dengan varians gabungan di bawah ini:

Kita juga dapat membacanya sebagai hasil akhir dalam varians sesudah varians berdasarkan pengukuran lama dikoreksi oleh masuknya varians data yang baru. Mengingat 0 < K < 1, dapatlah difahami jika disimpulkan σgab2 < σ12 . Artinya telah terjadi peningkatan dalam kualitas taksiran!

Pelajaran yang diambil Kita juga dapat membacanya dalam kerangka pemikiran yang lebih luas. Data x1 tidak harus berupa hasil pengukuran dari sebuah instrumen. Data itu dapat saja difahami sebagai taksiran terakhir atas nilai sebenarnya, berdasarkan pengolahan atas himpunan data hasil pengukuran sebelumnya. Dalam konteks itu x2 hanyalah data yang baru saja datang untuk diproses lebih lanjut. Dalam konteks teknik filter Kalman, {x1, σ12 } dibaca dibaca sebagai estimasi dan varians x sebelum datangnya data terkini x2, dan {x*, σgab2 } merupakan estimasi dan varians x sesudah x2 itu diperhitungkan.

Algoritma Filter Kalman Disini dipilih notasi umum di bawah ini: {xk-1|k-1, Pk-1|k-1} = estimasi besaran keadaan dan kovariansnya pada saat t = tk-1; {xk|k, Pk|k} = estimasi besaran keadaan dan kovariansnya pada saat t = tk; zk = data pengukuran pada saat t = tk. Algoritma Kalman memberi resep bagaimana {xk|k, Pk|k} dihitung dari {xk-1|k-1, Pk-1|k-1} dengan munculnya data baru zk tersebut. Selain itu ada xk|k-1 = prediksi akan besarnya xk pada saat t = tk-1; Pk|k-1 = prediksi akan besarnya kovarians pada saat t = tk-1. Prediksi dibuat atas dasar asumsi bahwa besaran keadaan mengikuti proses Markov. Selanjutnya, ada notasi untuk segala sesuatu yang berkaitan dengan inovasi: {yk, Sk}= vektor inovasi dan kovariansnya; Kk= perolehan Kalman.

Algoritma Filter Kalman Pada awal proses, buatlah taksiran yang jitu atas nilai vektor keadaan x0|0 dan matrix kovarians P0|0. Nyatakan k = 1. Selanjutnya untuk tiap saat k, kerjakan hitungan di bawah ini sampai semua data telah terproses: Prediksi: [1]. Hitung xk|k-1 = Ak xk-1|k-1 + Bk uk [2]. Hitung Pk|k-1 = Ak Pk-1|k-1 AkT + Qk Inovasi: [3]. Hitung yk = zk – Hk xk|k-1 [4]. Hitung Sk = Hk Pk|k-1 HkT + Rk [5]. Hitung Kk = Pk|k-1 HkT Sk-1 Estimasi: [6]. Hitung xk|k = xk|k-1 + Kk yk [7]. Hitung Pk|k = (I – Kk Hk) Pk|k-1

Implementasi A=1 H=1

Pustaka Soesianto, F. 2006. Filter Kalman. http://soft-computing.org Brown, R. G. and P. Y. C. Hwang. 1992. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. Gelb, A. 1974. Applied Optimal Estimation, MIT Press, Cambridge, MA. Grewal, M. S., and A. P. Andrews. 1993. Kalman Filtering Theory and Practice. Upper Saddle River, NJ USA, Prentice Hall. Jacobs, O. L. R. 1993. Introduction to Control Theory, 2nd Edition. Oxford University Press. Kalman, R. E. 1960. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Transaction of the ASME—Journal of Basic Engineering, pp. 35-45 (March 1960). Lewis, R. 1986. Optimal Estimation with an Introduction to Stochastic Control Theory. John Wiley & Sons, Inc. Maybeck, P. S. 1979. Stochastic Models, Estimation, and Control, Volume 1. Academic Press, Inc. Rudiyanto, B. I. Setiawan, and S. K. Saptomo. 2006. Algoritma Filter Kalman untuk Penghalusan Data. Jurnal Keteknikan Pertanian. Vol. 20, No. 3, December 2006. Page: 287~292. Sorenson, H. W. 1970. Least-Squares Estimation: from Gauss to Kalman. IEEE Spectrum, vol. 7, pp. 63-68, July 1970. Welch G. and G. Bishop. 2004. An Introduction to the Kalman Filter. Department of Computer Science, University of North Carolina at Chapel Hill. Chapel Hill, NC 27599-3175.

Optimisasi Parameter R pada Data Steady Fungsi tujuan adalah minimisasi mean square error (MSE); Fungsi kendala R ≥ 0 Berdasarkan teori optimisasi; MSE akan minimum jika

Penyelesaian dapat dilakukan dengan Newton Raphson sebagaimana berikut: Optimisasi parameter R dilakukan dengan menu Solver pada fasilitas Add-Ins pada MS Excel dimana H adalah Hessian matrix.

Pustaka Rudiyanto. 2006. Pemodelan Hidrolika Sistem Resirkulasi Akuakultur Terkendali. Thesis. Sekolah Pascasarjana IPB. Bogor.

Next Extended Kalman Filter????