Transformasi geometri

 Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang.  Perubahan yang (mungkin) terjadi: Kedudukan / letak Arah Ukuran Definisi :

Jenis-jenis Transformasi Geometri Proyeksi Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi) Pencerminan (Refleksi) Pemutaran (Rotasi) Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi) Pergeseran merubah bentuk(shear)

 Proyeksi Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar dengan garis acuan. Proyeksi merupakan jarak terpendek. Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu x. Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu y A B C Ox y

Proyeksi titik terhadap garis x= y Titik A(a,b) diproyeksikan pada garis y = x menghasilkan titik A’(a’,b’) Cara mencari matrik transformasi- nya adalah sebagai berikut : Perhatikan bahwa : a= r cos θ dan b = r sin θ a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45 OA’=r cos (45 – θ) Maka : a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = Karena a’ = b’, maka b’ =

Sehingga diperoleh : Matrik transformasi untuk titik yang diproyeksikan pada garis y = x

 Translasi Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama. Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’). P(x,y) O Y a b T= abab X P’(x’,y’) x y x’ y’ = P’(x+a,y+b)

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier. P(x,y) P’(x’,y’) dx dy x’ = x + dx y’ = y + dy Model Matrik:

Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut harus bergeser sejauh h juga. Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?

Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan titik B menjadi titik N dengan adalah :

Contoh soal : Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 9 jika ditranslasikan oleh : Jawab : Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga persamaan dapat ditulis : (a – 2) 2 + (b – 1) 2 = 9. Titik P ditranslasi dengan diperoleh titik T’ sbb :

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3 Substitusi ke persamaan : (a’ – 3– 2) 2 + (b’ – 4– 1) 2 = 9 (a’ – 5) 2 + (b’ – 5) 2 = 9 Jadi bayangan lingkaran : (x – 5) 2 + (y – 5) 2 = 9 Cara lain : Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh : Jadi bayangan lingkaran : (x – 5) 2 + (y – 5) 2 = 9 a = a’ – 3 dan b = b’ – 3

 Pencerminan (refleksi) Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

Refleksi terhadap sumbu x Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C. Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Dengan notasi matrik : Refleksi ditulis dengan notasI : A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notasI : A(a,c) A’(-a, c) sumbu y Dengan notasi matrik : Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap titik asal (0,0) Menghasilkan persamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notasI : A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0) Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = x Menghasilkan persamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notasI : A(a,c) A’(c,a) y = x Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notasI : A(a,c) A’(-c,-a) y =- x Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = h Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan : a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

Bukti : Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan : Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi : Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

Refleksi terhadap garis x = k Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan : a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah : A(a,c) A’(2k-a,c) x=k Dengan notasi matrik :

Contoh Soal : Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Jawab : Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11). Coba pikirkan : Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu tahap saja ?

 Perputaran (rotasi) Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut  x y P(x,y) P’(x’,y’)  x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik : dengan : - sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ - x’ kombinasi linier dari x dan y - y’ kombinasi linier dari x dan y

Bukti : Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0,0)

 Penskalaan (dilatasi) Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu. (Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar m kali titik P) x y P(x,y) P’(x’,y’) m x.x m y.y x’ = m x x y’ = m y y

Dalam bentuk matrik dituliskan : Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu terhadap acuan.

Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab- kan perbesaran atau perkecilan suatu sistem. Jika nilai k (bilangan nyata):  k> 1 : hasil dilatasi diperbesar  -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil  k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya. Contoh : Gambar disamping dilakukan dilatasi dengan faktor k = 2. Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’ !

Jawab : Transformasi dapat dilakukan dengan : Jadi hasil dilatasi terhadap titik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6) C’(12,10), D’ (6,10) Notasi : A(a,b) A’(ka,kb) (0,k)

 Shear Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya perubahan bentuk disebut transformasi shear. Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda. Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

Shear terhadap sumbu-x Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-x dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)

Shear terhadap sumbu-y Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-y dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)

Contoh soal : Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor shear k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk. Jawab : Sketsa bayangan :

Koordinat Homogen Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2 dimensi dengan 3 vektor   Koordinat homogen

 Komposisi Transformasi Komposisi transformasi adalah menggabungkan beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah matrik tunggal : - operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik - ketika mentransformasikan suatu titik, tidak ada penangan khusus : matrik. Vektor - transformasi gabungan : matrik. matrik

Macam komposisi transformasi :  Rotasi sebagai titik perubahan : Translasi – Rotasi – Translasi  Skala sebagai titik perubahan : Translasi – Skala – Translasi  Perubahan sistem koordinat : Translasi – Rotasi – Skala

Latihan : 1.Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik menghasilkan titik (1, -8). Tentukan nilai a dan b. 2.Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x. 3.Buktikan bahwa : merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik P(m,n)