BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

7.3 Integrasi dengan substitusi Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral- integral dari fungsi yang sederhana saja. Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau ∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fo g maka h(x) = F(g(x)). Sehingga,

(*) Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) Substitusi (*) ke (**) didapat,

Contoh 7.4 Penyelesaian Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian Misal u = x2 – 1  du = 2x dx

7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts) Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui bahwa, Misal u = g(x) dan v = h(x)

Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau integral parsial. Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas- prioritas agar penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. i) ln x ii) xn  n = bilangan bulat positif iii) ekx

Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = ex  dv = ex Contoh 7.7 Penyelesaian Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2 dv = sinx dx du = 2x dx v = –cosx

Misal u = 2x dv = cosx dx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**) Substitusi (**) ke (*) didapat

Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = ex dv = cosx dx du = ex dx v = sinx Misal u = ex dv = sinx dx du = ex dx v = –cos x

Substitusi (**) ke (*) didapat,

7.5. Integrasi fungsi pecah Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk, Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dgn metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor 2.

2. Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah, c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , An dapat diganti dengan A, B, C dst.

Contoh 7.10 Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga pers. tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = –9/5 Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat,

Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 7x3 + 12x2 – 10x – 7 x + 1 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x2 – 3x + 5