FIELD ATAU MEDAN Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan

Definisi: Struktur Aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif terhadap pergandaan disebut skew field (medan miring)

Syarat Field Field memiliki syarat sama dengan ring komutatif (ax:1,2,3,4,5, 1’,2’,D,5’,3’ dan 4’ ). 4’ dengan syarat (Va Є R,a ≠ 0) (Э a Є R) a-1 a=a. a-1 =e,e=elemen satuan terhadap (x) dalam R)

Field : Ring komutatif, ring dengan elemen satuan perkalian dan 4’ (setiap elemen satuan nol mempunyai invers terhadap perkalian) Contoh Soal: Selidiki apakah I7 suatu field terhadap penjumlahan dan perkalian mod 7!

Penyelesaian : Jawab : + 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5

x 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

Tertutup”+” (Va,b Є I7 ) (Э!cЄI7)a+b = c misal: 1,4ЄI7 → 1+4 = 5 ; 5ЄI7 2,3ЄI7 → 2+3 = 5 ; 5ЄI7 , dst Assosiatif”+” (Va,b,c Є I7 ) (a+b)+c = a+(b+c) 1,2,4 Є I7 → (1+2)+4 = 1+(2+4) 3+4 = 1+6 7 = 7 (mod 7) 0 = 0 , dst

Invers dari 0,1,2,3,4,5,6 masing-masing adalah 0,6,5,4,3,2,1 sebab : 3. Terdapat elemen satuan “+” (ЭzЄI7) (VaЄ I7 ) z+a = a+z = a contoh : 2 Є I7 → 0+2 = 2+0 = 2 3 Є I7 → 0+3 = 3+0 = 3, dst 4. Setiap elemen dalam I7 mempunyai elemen invers terhadap”+” (Va Є I7 ) (Э(-a) ЄI7) (-a)+a = a+(-a) = z Invers dari 0,1,2,3,4,5,6 masing-masing adalah 0,6,5,4,3,2,1 sebab : 0 + 0 = 0 3 + 4 = 0 6 + 1 = 0 1 + 6 = 0 4 + 3 = 0 2 + 5 = 0 5 + 2 = 0

misal : 2,3 Є I7 → 2x3 = 6, 6 Є I7 2’. Assosiatif “x” 5. Komutatif “+” (Va,b Є I7 ) a + b = b + a misal: 2,4 Є I7 → 2+4 = 4+2 6 = 6 Є I7 1’. Tertutup “x” (Va,b Є I7 ) (Э!cЄI7)axb = c misal : 2,3 Є I7 → 2x3 = 6, 6 Є I7 2’. Assosiatif “x” (Va,b,c Є I7 ) (a x b) x c = a x (b x c) 2,3,4 Є I7 → (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 6 x 4 = 2 x 5 ( mod 7) 3 = 3 (mod 7)

3’. Terdapat elemen satuan “x” (ЭeЄI7) (VaЄ I7 ) a x e = e x a = a contoh : 2.1 Є I7 → 2.1 = 1.2 = 2 Jadi elemen satuan terhadap “x” = 1 4’. Setiap elemen dalam I7 mempunyai elemen invers “x” (Va Є I7 ) (Э a-1ЄI7) (a-1)+a = a+(a-1) = 1 Elemen invers dari 1,2,3,4,5,6 masing – masing adalah 1,4,5,2,3,6 sebab: 1 x 1 = 1 4 x 2 = 1 2 x 4 = 1 5 x 3 = 1 3 x 5 = 1 6 x 6 = 1

5’. Komutatif “x” (Va,b Є I7 ) a x b = b x a misal: 2,5 Є I7 → 2 x 5 = 5 x 2 3 = 3 D. Distributif (Va,b,c Є I7 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 Є I7 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 7 = 3 + 4 (mod 7) 1 x 0 = 7 (mod 7) 0 = 0

(3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 7) 7 x 1 = 3 + 4 0 x 1 = 7 (mod 7) 0 = 0 Karena I7 memenuhi 1,2,3,4,5, 1’ ,2’,3’,4’ ,5’ dan D maka I7 suatu field

RING PEMBAGIAN (DIVISION RING) Definisi : Struktur aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif pergandaan, adanya elemen satuan dan tiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai elemen invers tetapi tidak mensyaratkan berlakunya setiap persamaan ax = b mempunyai jawaban disebut DIVISION RING (RING PEMBAGIAN)

Dengan kata lain syarat Ring pembagian Memenuhi sifat – sifat Ring (1,2,3,4,5, 1’ ,2’ ,D) ax = b Contoh soal Selidiki apakah A={0,1,2,3,4} terhadap penjumlahan dan pergandaan modulo 5 merupakan Ring pembagian yang komutatif !

Penyelesaian: + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

x 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

Tertutup”+” (Va,b Є I5 ) (Э!cЄI5)a+b = c misal: 1,3ЄI5 → 1+3 = 4 ; 4ЄI5 2,4ЄI5 → 2+4 = 1 ; 1ЄI5 , dst Assosiatif”+” (Va,b,c Є I5 ) (a+b)+c = a+(b+c) 1,3,4 Є I5 → (1+3)+4 = 1+(3+4) 4+4 = 1+7 8 = 8 (mod 5) 0 = 0 , dst

Invers dari 0,1,2,3,4 masing-masing adalah 0,4,3,2,1 sebab : 3. Terdapat elemen satuan “+” (ЭzЄI5) (VaЄ I5 ) z+a = a+z = a contoh : 3 Є I5 → 0+3 = 3+0 = 3 4 Є I5 → 0+4 = 4+0 = 4, dst 4. Setiap elemen dalam I5 mempunyai elemen invers terhadap”+” (Va Є I5 ) (Э(-a) ЄI5) (-a)+a = a+(-a) = z Invers dari 0,1,2,3,4 masing-masing adalah 0,4,3,2,1 sebab : 0 + 0 = 0 3 + 2 = 0 1 + 4 = 0 4 + 1 = 0 2 + 3 = 0

misal : 1,3 Є I5 → 1x3 = 3, 3 Є I5 2’. Assosiatif “x” 5. Komutatif “+” (Va,b Є I5 ) a + b = b + a misal: 2,3 Є I5 → 2+3 = 3+2 0 = 0 Є I5 1’. Tertutup “x” (Va,b Є I5 ) (Э!cЄI5)axb = c misal : 1,3 Є I5 → 1x3 = 3, 3 Є I5 2’. Assosiatif “x” (Va,b,c Є I5 ) (a x b) x c = a x (b x c) 1,3,4 Є I5 → (1 x 3) x 4 = 1 x (3 x 4) 3 x 4 = 1 x 2 ( mod 7) 2 = 2 (mod 7)

D. Distributif (Va,b,c Є I5 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 Є I5 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 2 = 3 + 4 (mod 5) 2 = 2 (mod 7) (3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 5) 2 x 1 = 3 + 4 2 = 2 (mod 5)

ax = b Karena anggota I5 = {0,1,2,3,4} maka ax = b → 2x = 4 x = 2 (2 Є I5 ) Karena I5 memenuhi sifat 1,2,3,4,5, 1’ ,2’ ,D dan ax = b, maka I5 merupakan ring pembagian yang komutatif