Persamaan Diferensial Biasa 2 Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2

Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1) titik, xn, xn-1, ..., xn-m. (8-44)

Formula Langkah Ganda (Multistep) Dlm. notasi Newton backward formula masukkan polinom ini ke (8-44), mk. didapat : di mana utk. m = 4, 0 = 1, 1 = 1/2, 2 = 5/12, 3 = 3/8, 4 = 2/720, m = 0, Euler Formula (8-45) disebut metode Adams-Bashforth. (8-45)

Formula Langkah Ganda (Multistep) Pemakaian Tabel-Difference (m = 3) xn-3 yn-3 fn-3 fn-3 xn-2 yn-2 fn-2 2fn-2 fn-2 3fn-3 xn-1 yn-1 fn-1 2fn-2 fn-1 xn yn fn (8-45) menjadi : yn+1 = yn + h(fn + ½ fn-1 + 5/12 2fn-2 + 3/8 3fn-3) Dng. memakai definisi ifs, diperoleh : yn+1 = yn + h/24 (55fn - 59 fn-1 + 27 fn-2 - 9 fn-3) Dng. kesalahan : EAB = h5yv() 251/720

Catatan Formula langkah ganda tidak dapat berjalan tanpa adanya m-1 nilai awal. Nilai awal ini biasanya didapat dari metode langkah tunggal, biasanya order formula langkah tunggal = formula langkah ganda. Koefisien metode Adams-Bashforth utk. O(hs), koefisien suku kesalahan lebih besar dibanding formula RK yg. juga O(hs). Di setiap langkah xn ke xn+1, langkah ganda hanya perlu menghitung sekali harga f, sedang RK perlu harga f lebih dari 1. Jadi langkah ganda lebih cepat.

Metode Prediktor-Korektor Metode langkah ganda biasa, f(x, y) diinterpolasi pada titik xn, xn-1, …, xn-m. [tipe terbuka] Metode langkah ganda prediktor-korektor, f(x, y) diinterpolasi pada titik xn+1, xn, xn-1, …, xn-m. [tipe tertutup] diaproksimasi (dekati) oleh formula integral trapesium, mk. diperoleh : Error formula ini : -(h3/12)y’’’, tetapi implisit (mengandung yn+1, di sebelah kanan).

Metode Prediktor-Korektor Untuk memulainya harus dipredik (taksir) dng. formula eksplisit (Euler, RK), baru lakukan iterasi (korektor). Algoritma 8-4 Diberikan y’ = f(x, y), y(x0) = y0, h, xn = x0 + nh, n = 0, 1, ... Hitung yn+1(0) dng. yn+1(0) = yn + hf(xn, yn) Hitung yn+1(k) (k = 1, 2, ...) dng. yn+1(k) = yn + h/2[f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1(k-1))] sampai diberikan. Catatan : Iterasi 2 biasanya akan konvergen dng. cepat (k kecil) jika prediktor dan korektor punya order sama dan h cukup kecil. Jika tidak konvergen, sebaiknya h diperkecil.

Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) f(x, y(x)) diinterpolasi pd. xn+1, xn, xn-1, ..., xn-m, m>0 Dng. mengintegrasi dari xn ke xn+1, diperoleh di mana beberapa nilai ’k : ’0 = 1, ’1 = -1/2, ’2 = -1/12, ’3 = -1/24, ’4 = -10/720 utk. m = 2

Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) Algoritma 8-5 Prediktor-korektor Adam-Moulton. Diberikan y’ = f(x, y), dng. h tetap, xn = x0 + nh, (y0, f0), (y1, f1), (y2, f2), (y3, f3) , n = 3, 4, ... Hitung yn+1(0) dng. formula : (Adam-Bosforth) yn+1(0) = yn + h/24 (55fn – 59fn-1 + 37fn-2 – 9fn-3) Hitung fn+1(0) = f(xn+1, yn+1(0)) Hitung : (k = 1, 2, ...) yn+1(k) = yn + h/24[9f(xn+1, yn+1(k-1) + 19fn – 5fn-1 + fn-2] Iterasikan pada k sampai diberikan.

Menaksir Kesalahan Adams-Bashforth : y(xn+1) – yn+1(0) = 251/720 h5yv(1) y(xn+1) – yn+1(1) = -19/720 h5yv(2) Secara umum (1 ≠ 2), tapi jika dianggap yv konstan, di interval [x0, xk] Jd. h5yv = 720/270 (yn+1(1)-yn+1(0)) Jd. y(xn+1) – yn+1’ = -19/270 (yn+1(1) – yn+1(0))  -1/14 (yn+1(1) – yn+1(0)) = Dn+1

Implementasi Secara Umum Diasumsikan, kesalahan lokal per langkah, satuan terbatas (Toleransi) Hitung yn+1(0), fn+1(0) Hitung yn+1(1), fn+1(1) Hitung |Dn+1| Jika E1  |Dn+1|/h  E2, lanjutkan ke n+2, dng. h yg. sama. Jk. |Dn+1|/h > E2, h terlalu besar, h = h/2, hitung 4 nilai-nilai awal (dng. formula RK) & kembali ke 1 |Dn+1|/h < E1, lebih akurat, h = 2h, hitung 4 nilai awal, lanjutkan ke n+2.