Modul V : Turunan Fungsi MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh : Notasi dan pengertian turunan fungsi Gradien garis singgung Kecepatan sesaat jika limitnya ada y Laju massa per satuan waktu f(x+h) Laju perubahan panas per satuan waktu f(x+h)-f(x) Perubahan entalpi akibat perubahan temperatur f(x) h Perubahan tekanan akibat perubahan volume x x x+h Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Contoh Menghitung Turunan: Hitung f’(x) Jawab : f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6 = 3x2 + 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6 f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 – 4h = 6x - 4 Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Menghitung Turunan Grafik fungsi f(x) Y=1.5x2–4x+6 Y=5-(x-3)2 Y=4x-x2 Y=2 Y=-2(x-3) Y=2x Y=4-2x Y=3x-4 Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Rumus Dasar Turunan Fungsi Contoh-contoh (1). y=5x4 + 5x - 10 (2). y = (x4 + 10)(x5 – 5) u=x4+10 u′=4x3 v=x5 – 5 v′=5x4 y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4) y=uv  y' = u' v + uv' u=x3+4 u′=3x2 v=x4 + 3 v′=4x3 Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Aturan Rantai Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7 Misalkan diberikan, y = (x4 + 3)6 u=g(x) y=f(u) u=g(x) v=h(u) y=f(v) x u=x4+3 y=u6 x u=x4+1 v=4+3u5 y=v7 Rumus Umum y=f(u), u = g(x)  y=f(g(x)) Rumus Umum y=f(v), v = h(v), u = g(x)  y=f{h[g(x)]} Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi SOAL LATIHAN Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Rumus Dasar Turunan Trigonometri Contoh-contoh Hitunglah y′ dari : Jawab u=x, v=x+sec2x u′=1, v′=1+2sec2x tan x Hitunglah y′ dari : y=x4 sin 3x Jawab u=x4, v=sin 3x u′=4x3, v′=3 cos 3x y′ = u v′ + u′v = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Hitunglah y′ dari : y = cos4(x2 + 1) Jawab: y= [cos(x2+1)]4 Hitunglah y′ dari : y = cos(x2 + 1)4 Jawab: x u=x2+1 v=cos u y=v4 x u=x2+1 v=u4 y=cos v = 4(cos u)3 {–sin(x2+1) } (2x) = 4 [cos(x2+1)]3 {–sin(x2+1)} (2x) = (-sin u4){4(x2+1)3}(2x) = -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x) Hitunglah y′ dari : Jawab: x v=u4 w=sec v y=w3 Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi-fungsi berikut ini. 6. y = sin(2 – 3x + x3) 7. y = cos(4 – 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x) y = sin(x2) cos2 x y = (1 + x2)5 sec(1 + x2) y = tan(x2 + 1)5 12. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2 x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2)) y = (3x + x3)4 sin2 x y = sec3(2x – x2)6 y = sin3[cos5(x – 3x2)] 18. y = sin3 x tan4 x 19. y = sec3 x tan2 x 20. y = cos3 x cot4 x Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Penurunan Secara Implisit Persamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi ------------------------------------------------------------------------------------------------- (1). y = x3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Implisit Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah : Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Jawab : Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi Turunan Notasi x5 sin 2x Pertama y  5x4 2 cos 2x Kedua y  5(4x3) - 4 sin 2x Ketiga y  20(3x2) - 8 cos 2x Keempat y(4) 60(2x) 16 sin 2x Kelima y(5) 120 (1) 32 cos 2x Ke-n y(n) Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari : Tentukan rumus turunan orde-n dari : Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Soal latihan Khusus Soal 1. Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari x+b y a Soal 2. Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari x+b a Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Deferensial dan Hampiran Diferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dx Hubungan antara diferensial dan turunan adalah : 1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan : Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial. Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx. Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul V : Turunan Fungsi Hampiran Perhatikanlah sketsa berikut ini Soal-soal Sebelum tangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter. Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak. f(x+x) y dy f(x) x x+x Jika x mendapat tambahan x, maka y mendapatkan tambahan sebesar y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana y = f(x + x) – f(x). Jadi : f(x + x)  f(x) + dy = f(x) + f (x) x Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi

Modul IX Fungsi Transendent FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh, y Sifat-sifat Logaritma Asli Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka : (1). ln 1 = 0 (2). ln ab = ln a + ln b R t t=1 t=x Menurut definisi integral tentu : A(R) = 0, jika x = 1 A(R) > 0, jika x >1 A(R) < 0, jika x < 1 Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3) Jawab : Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3) Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3) Maka : Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5) Jawab : Ambil, u = x2 + 4x + 5. Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Grafik Fungsi Logaritma sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu : Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0 Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0. Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = –1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0 Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat Contoh grafik fungsi logaritma y y = x ln x y=ln x x Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Contoh Grafik Y = 100 x–2 ln x Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Diferensial Logaritmik Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab : ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5 = 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x) Diferensial secara implisit Contoh : Hitung dy/dx dari Jawab Diferensial secara implisit Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent FUNGSI EKSPONENSIAL ASLI Fungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh : y = exp(x) = ex  x = ln y Sifat-sifat eskponensial asli : (1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0 (2). ln(exp x) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1 (4). ln e = 1 (5). ea eb = ea+b (6). (ea)b = eab Sketsa grafik y y=ex y=x y = ln x Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Rumus turunan Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari Jawab Dengan aturan rantai, dihasilkan Contoh : Hitunglah dy/dx dari Jawab Misalkan, u = x4 ln x, y = eu Maka : Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e–0.5x Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Soal-soal latihan Hitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :

Modul IX Fungsi Transendent Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari : Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi : (1). y = sin–1x  x = sin y (2). y = cos–1x  x = cos y (3). y = tan–1x  x = tan y (4). y = sec–1x  x = sec y (5). y = csc–1x  x = csc y (6). y = cot–1x  x = cot y Catatan : (i). cos–1x = arc cos x (ii). cos–1x  (cos x)–1 Grafik Fungsi Invers Trigonometri y y=tan–1 x x y=sin–1x Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x2 sin–1x + x Jawab : Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul IX Fungsi Transendent Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2 ) Jawab : Contoh Hitunglah turunan dari Jawab : = 4x tan–1x – ln(1+ x2) y = sec–1v Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent

Modul V : Turunan Fungsi SOAL-SOAL LATIHAN Tentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari, Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi