ALJABAR LINIER & MATRIKS VEKTOR

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila Diketahui Sudutnya u + v u v θ u-v v θ u

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: panjang αa = | α |.|a| jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0 Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a1,a2,a3] maka αa = [αa1, αa2, αa3]

Sifat Perkalian skalar & vektor αa = aα Komutatif α( ka ) = ( αk )a Asosiatif α ( a+b ) = αa + αb Distributif (α+k) a = αa + ka 1 . a = a Elemen Netral 0 . a = 0 Elemen Central (-1) a = -a Elemen Invers

Ruang Vektor Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan - distributif operasi 1 terhadap operasi 2 - distributif operasi 2 terhadap operasi 1 - assosiatif

Kombinasi linear Untuk sembarang vektor a1, … , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan: α1a1 + α2a2 + … + αm am α1, … , αm skalar sembarang disebut sebagai “Kombinasi Linear”

Ketergantungan Linear Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’ Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bergantungan linear’ α1a1 + α2a2 + … + αm am = 0 Berlaku untuk α1 = α2 = … = αm = 0 (vektor-vektor bebas linear) terdapat minimal satu α1≠0 (vektor-vektor tidak bebas linear)

Perkalian Titik (Dot Product)

Visualisasi Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan Memiliki sudut antara dua vektor

Rumus Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah: u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u.v = 0 jika u = 0 atau v = 0

Rumus Dalam bentuk komponen vektor, a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Dalam vektor 3 dimensi; bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka : a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Formulasi Khusus

Sifat Dot Product Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α1, α2 berlaku:

Orthogonalitas dua vektor Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2

Rumus Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

 lancip; jika dan hanya jika u.v>0 Hasil Dot Product bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor. Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan  adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :  lancip; jika dan hanya jika u.v>0  tumpul ; jika dan hanya jika u.v<0  =/2; jika dan hanya jika u.v=0

Contoh Soal Jika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1]. Tentukanlah: panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x

Summary Dot Product Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis Rumus untuk dot product Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u.v = 0 jika u = 0 atau v = 0

Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)

Cross Product Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor Hasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan skalar Hasil Cross Product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

Cross Product Rumus Umum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

Cross Product Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 ) atau dalam notasi determinan :

Sifat Cross Product Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka : u x v = -(v x u) u x (v+w) =(u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0

Hubungan Dot Product dan Cross Product Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka : u.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap u. v.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap v. |u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2 u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u

Contoh Soal Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1), hitunglah u x v !

Contoh Soal Jawab: u x v = =

Scalar Triple Product

Sifat Hasil Kali Triple Scalar

Latihan 1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4) b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) . 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya. a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 ) b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )