HASIL KALI SILANG
DEFINISI Jikau = (u1, u2, u3) danv = (v1, v2, v3) adalahvektor-vektor di dalam ruang-3, makaperkaliansilang ux vadalahvektor yang didefinisikanoleh : u x v = (u2v3-u3v2, u3v1-u1v3, u1v2-u2v1) di dalamnotasideterminan: u x v = ( 𝑢 2 𝑢 3 𝑣 2 𝑣 3 , - 𝑢 1 𝑢 3 𝑣 1 𝑣 3 , 𝑢 1 𝑢 2 𝑣 1 𝑣 2 )
TEOREMA Jikaudanvadalahvektor-vektor di dalam ruang-3, maka : (a) u.(u x v) = 0 (u x vortogonalkepadau) (b) v.(u x v) = 0 (u x vortogonalkepadav) c 𝐮 𝐱 𝐯 2 = 𝐮 2 . 𝐯 2 − (𝐮.𝐯) 2 (identitas Lagrange) (d) u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang) (e) (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang)
INTERPRETASI GEOMETRI DARI HASIL KALI SILANG 𝒖 𝒙 𝒗 = 𝒖 𝒗 sin 𝜃 Dengan 𝒗 sin 𝜃 adalahtinggidarijajarangenjang yang ditentukanoleh u dan v. Jadiluas A darijajarangenjanginidiberikanoleh A = (alas)(tinggi) = 𝒖 𝒗 sin 𝜃 = 𝒖 𝒙 𝒗 Dengan kata lain, maka norm dariu x vsamadenganluasjajarangenjang yang ditentukanolehudanv.
GARIS DAN BIDANG DI DALAM RUANG-3 Persamaan bidang yang melalui titik P0(x0, y0, z0) dan mempunyai vektor tak nol n = (a, b, c) sebagai normal. Maka bentuk normal titik dari persamaan sebuah bidang : a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
TEOREMA Jika a, b, c, dan d adalah konstanta dan a, b, dan c tidak semuanya nol maka grafik persamaan ax + by + cz + d = 0 adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n = (a, b, c) sebagai normal.
GARIS PADA RUANG DIMENSI TIGA Misalkan l adalahgarisdidalam ruang-3 yang melaluititik P0(x0, y0, z0) dansejajardenganvektortaknolv = (a, b, c). Maka l persisterdiridarititik-titik P(x, y, z) untukmanavektor 𝑃 0 𝑃 sejajardenganv, yakni, untukmanaterdapatsebuahskalar t sehingga 𝑃 0 𝑃 = tv Sehinggadapatditulis : (x – x0, y – y0, z – z0) = (ta, tb, tc) Diperoleh : x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc dimana - ∞< t < +∞ Persamaan – persamaaninidinamakanpersamaanparametrikuntuk l karenagaris l ditelusurioleh P(x, y, z) jika parameter t berubahdari – ∞ ke +∞.
JARAK ANTARA SUATU TITIK DAN SUATU BIDANG TEOREMA : Jarak D antara titik Po(xo, yo, zo) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah :