INTEGRASI NUMERIK

METODE PERSEGI PANJANG Metode secara numerik Metode Pendekatan Persegi Panjang Metode Trapesium Metode Pendekatan Persegi Panjang Bagi interval a sampai b atas n sub-interval  Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut  Pk = h * f (xk ) Jumlahkan semua luas persegi panjang tersebut 

METODE PERSEGI PANJANG Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :  yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval Contoh: Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 Luas persegi panjang  P1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1 P2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4 P3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9 P4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16 Luas Total = 30 Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66 +

METODE PERSEGI PANJANG Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8  h = (4 - 0)/8 = 0.5 Luas persegi panjang  P1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125 P2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1 P3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125 P4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2 P5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125 P6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5 P7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125 P8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8 Luas Total = 26 Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67 Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544 +

METODE PERSEGI PANJANG Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas  P1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0 P2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125 P3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1 P4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125 P5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2 P6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125 P7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5 P8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125 Luas Total = 18 +

METODE PERSEGI PANJANG Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh: Luas  P1 = 0.5 * f(0.25) = 0.03125 P2 = 0.5 * f(0.75) = 0.28125 P3 = 0.5 * f(1.25) = 0.78125 P4 = 0.5 * f(1.75) = 1.53125 P5 = 0.5 * f(2.25) = 2.53125 P6 = 0.5 * f(2.75) = 3.78125 P7 = 0.5 * f(3.25) = 5.23125 P8 = 0.5 * f(3.75) = 7.03125 Luas Total = 21.2000 + Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

METODE TRAPESIUM Metode Trapesium Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama  Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) Hitung luas trapesium  Pk = h * f (xk ) Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) ke-2 = t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) ) ……………. ke-n = tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) ) Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

METODE TRAPESIUM

METODE TRAPESIUM Contoh: Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 Luas total xk 1 2 3 4 f(xk) 9 16

METODE KUADRATUR GAUSS Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval I = f(x) dx = (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + … + Rn (Un)] U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2] (U) = f(x) = f[(b-a)u + ] X = (b-a)u + (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

ALGORITMA KUADRATUR GAUSS Inisialisasi tabel koefisien gauss Definisikan fungsi integran Tentukan batas pengintegralan a dan b Inisialisasi : sum = 0 Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai n Hitung : I = (b-a) x sum Tulis hasil integral

METODE SIMPSON Paling luas pemakaiannya Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3 ordinat dari 2 interval berdampingan Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode trapesium n = banyak interval h = I = (Y0 + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 +…+ 2Yn-4 + 4Yn-3 + 2Yn-2 + 4Yn-1 + Yn) Kesalahan pemotongan : eT ~ (b-a) f (Q), a<Q<b

ALGORITMA METODE SIMPSON Definisikan fungsi integran Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap) Hitung : h = (b-a)/n Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) Tulis hasil perhitungan