SIMPANGAN DAN KEMENCENGAN

SIMPANGAN ABSOLUT Simpangan absolut merupakan salah satu alat ukur untuk dalam menentukan variabilitas data, dengan satuan yang sama dengan datanya. Alasan dibutuhkan pengukuran simpangan adalah: Dapat menilai seberapa jauh letak nilai sentral terhadap datanya, satu data dengan nilai yang ekstrim sulit disimpulkan bila hanya disimpulkan dari nilai reratanya. Dapat dipelajari bagaimana variasi kualitas suatu produk, dengan demikian usaha untuk meningkatkan keseragaman kualitas produk dapat diantisipasi.

Perhitungan simpangan Data tidak dikelompokkan Data dikelompokkan

DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN JENIS SIMPANGAN Tiga jenis simpangan yang sering digunakan adalah : Rentang (perbedaaan antara datum terbesar dan terkecil) Rata-rata simpangan (jarak antara tiap data dengan nilai rata-rata, jarak selalu memberi tanda positif, atau harga mutlak) Simpangan baku (merupakan simpangan yang paling banyak digunakan, selalu berdampingan dengan rerata aritmatik. Simpangan baku adalah ukuran seberapa jauh nilai yang ada terhadap reratanya). Kuadrat simpangan baku dikenal sebagai varian. Simpangan ini dapat dihitung berdasarkan data yang dikelompokan dan data yang tidak dikelompokkan.

PERHITUNGAN DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN RENTANG Datum terbesar dikurangi datum terkecil RATA-RATA SIMPANGAN (RS) RS = (Σ I X-μ I)/N Dimana: X = nilai observasi μ = rerata aritmatik N = jumlah observasi I = tanda mutlak

SIMPANGAN BAKU (SB) σ = [Σ (X – μ)2 / N] atau TERHADAP POPULASI σ = [Σ (X – μ)2 / N] atau σ = [( Σ X2/N – (ΣX/N)2 ] (TANPA MENGHITUNG RATA-RATA) TERHADAP SAMPEL S = [Σ (Xi – X)2 / (n-1)] Dimana: xi = data x = rerata aritmatik sampel

DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN RATA-RATA SIMPANGAN DATA (X) X-μ I X-μ I 18 -13 13 19 -12 12 20 -11 11 45 14 46 15 47 16 48 17 50 434   190 μ = 434/14 = 31 RS = 190/14 = 13.57

SIMPANGAN BAKU DATA (X) X-μ (X-μ)^2 18 -13 169 19 -12 144 20 -11 121 45 14 196 46 15 225 47 16 256 48 17 289 50 361 434   2654 σ = [ 2654/14] = 13.8

SB TANPA MENGHITUNG RERATA DATA (X) x^2 18 324 19 361 20 400 45 2025 46 2116 47 2209 48 2304 50 2500 434 16108 σ = [ (16108/14) - (434/14)^2] = 13.8

DATA DIKELOMPOKKAN Dalam data yang dikelompokkan, maka dispersi yang biasa digunakan adalah simpangan baku. Alternatif lain adalah menghitung simpangan kuartil yang digunakan bersama median untuk menjelaskan apakah distribusinya bisa dijelaskan dengan rerata aritmatik dan simpangan baku

Simpangan baku (data dikelompokkan) Untuk populasi σ = [Σ f (m-μ)2 / N] Untuk sampel [Σ f (m-x)2 / (n-1)] Bila simpangan baku dihitung tanpa memasukkan rerata aritmatik maka persamaan yang digunakan [(1 / N) Σ f (m)2 - ( Σfm)2/ N]

Simpangan baku = 10698/50 = 14.63 L/org/hari Pemakaian air Frekuensi titik tengah kelas   simpangan (f) (xi)atau(m) f.m (m-u) (m-u)^2 f(m-u)^2 80- 89 2 84.5 169 -30.2 912.04 1824.08 90 - 99 6 94.5 567 -20.2 408.04 2448.24 100 - 109 10 104.5 1045 -10.2 104.04 1040.40 110 - 119 14 114.5 1603 -0.2 0.04 0.56 120 - 129 9 124.5 1121 9.8 96.04 864.36 130 - 139 7 134.5 942 19.8 392.04 2744.28 140 - 149 144.5 289 29.8 88.04 1776.08 50 5735 10698.00 Simpangan baku = 10698/50 = 14.63 L/org/hari

Banyak didapati data tersebar disekitar reratanya dalam bentuk yang hampir simetris. Dalam hal ini simpangan baku akan sangat bermanfaat sebagai pengukur sebaran data tersebut. Misalnya distribusi normal dari pengukuran iQ dari populasi, dengan rata 100 dan simpangan baku 10 Z=x-u/simpangan baku 68.3% 95.4% 99.7% 120 70 80 90 100 110 130 -3σ -2σ -1σ u 1σ 2σ 3σ

Simpangan kuartil Seperti rentang simpangan kuartil adalah jarak antara titik-titik observasi terpilih. Rangkaian data dibagi empat sama besar Q1 25% Q2 50% median Q3 75% Nilai terendah Nilai tertinggi Kuartil 1 = Q1 = 25% dari data Kuartil 2 = Q2 = 50% dari data Kuartil 3 = Q3= 75% dari data Rentang antar Kuartil adalah jarak antara Q3 dan Q1

Persamaan simpangan kuartil Qn = LQn + [(N n/4 – KF)/fQn] I L Qn = ujung bawah dari kuartil ke n dihitung dari frekuensi kumulatif FQn = frekuensi kuartil ke n SQ = (Q3 – Q1)/2

Simpangan relatif Kadang kala dalam analisis diinginkan untuk membandingkan simpangan yang datanya tidak selalu proporsional, atau antara satu data dengan data yang lainnya tidak mempuyai satuan yang sama. Dalam ha ini simpangan relatif yang paling sering digunakan adalah koefisien variasi (KV)

Contoh Rerata gaji perusahaan A = Rp400.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp100.000,. Rerata gaji perusahaan B = Rp250.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp50.000,. KVA = (100.000/400.000) 100% = 25% KVB = (50.000/250.000) 100% = 20% Artinya dispersi gaji di mperusahaan B relatif lebih kecil dibanding perusahaan A

Hasil pengukuran timbulan sampah di kota A terdapat dalam 2 satuan,yaitu satuan berat dan satuan volume yang diukur selama 7 hari, yaitu : Satuan berat adalah 0.378 kg/orang/hari dengan SB = 0.323 kg/orang /hari Satuan volume adalah 2.18 L/orang/hari dengan SB = 1.15 L/orang/hari Maka KV berat = (0.323/0.378) 100% =85.45% KV volume = (1.15/2.18) 100% = 52.75% Artinya pengukuran secara berat menghasilkan data yang lebih bervariasi

UKURAN KEMENCENGAN Kaitan antara nilai sentral biasanya dinyatakan dengan ukuran kemencengan (skewness) yang memberikan arah dari grafik (condong ke kanan atau kekiri), Persamaan SK = [3 (μ – Md)] / σ

contoh Data: Rerata aritmatik = 115.2 L/orang/hari Median = 115 L/orang/hari Simpangan baku = 14.63 L/orang/hari Maka ukuran kemencengan = Sk = [3(115.2 – 115)] / 14.63 = +0.041 Artinya grafik condong ke kanan, dan rerata aritmatik ada di kanan median.

Distribusi kemencengan + gambar di bawah merupakan hubungan ketiga nilai sentral tersebut (rerata, median, dan modus) Distribusi kemencengan + Mo Med rerata

Distribusi kemencengan - Rerata Med Mo

Distribusi simetris