LIMIT DAN KONTINUITAS TIM PENGAJAR KALKULUS 2

LIMIT Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus : f(x) tidak terdefinisi pada x = 0, karena di titik ini f(x) bernilai 0/0 (tidak punya arti), tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 0 atau apakah f(x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 0 ? Jawaban Limit (x2 – x)/2x untuk x mendekati 0 adalah –1/2.

Konsep Limit Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dengan a Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

Limit Fungsi 2 Variabel Misalkan f suatu fungsi dua variabel ,dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah lingkaran dengan pusat (xo,yo) kecuali pada titik (xo,yo). Menyatakan jika diberikan sebarang bilangan terdapat >0 sedemikian hingga f(x,y) memenuhi dimana jarak antara (x,y) dan (xo,yo) memenuhi

Limit Fungsi 3 Variabel Misalkan f suatu fungsi tiga variabel ,dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah lingkaran dengan pusat (xo,yo,zo) kecuali pada titik (xo,yo,zo). Menyatakan jika diberikan sebarang bilangan terdapat >0 sedemikian hingga f(x,y,z) memenuhi dimana jarak antara (x,y,z) dan (xo,yo,zo) memenuhi

Sifat-Sifat Limit Theorema Jika dan , maka: a. , jika c suatu konstanta b. c. d. e. , jika L2 0

Sifat-sifat limit ini identik untuk limit tiga variabel. Contoh

Kontinuitas Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (xo,yo) jika 1. f(xo,yo) terdefinisi 2. ada 3.

Kontinuitas Suatu fungsi tiga variabel f disebut kontinu di titik (xo,yo,zo) jika 1. f(xo,yo,zo) terdefinisi 2. ada 3.

Theorema Jika g dan h suatu fungsi satu variabel yang kontinu, maka f(x,y)=g(x)h(y) adalah suatu fungsi kontinu dari x dan y Jika g suatu fungsi kontinu satu variabel dan h fungsi kontinu dari dua variabel, maka fungsi komposisi f(x,y) = g(h(x,y)) adalah fungsi kontinu dari x dan y  

Contoh Fungsi kontinu, karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu dan .   Fungsi adalah fungsi kontinu bersyarat, fungsi tersebut kontinu disetiap titik kecuali pada hyperbola xy=1. Tunjukan bahwa fungsi kontinu pada titik (-1,2)

, jika fungsi f(x,y) mendekati L pada saat (x,y)  (xo, yo) untuk semua kurva kontinu yang melalui titik (xo, yo). Jika dua kurva kontinu melalui titik (xo, yo) dimana mempunyai limit f(x,y) berbeda, atau jika sebarang kurva menyebabkan f(x,y) tidak mempunyai limit, maka tidak ada. Hal yang sama berlaku untuk fungsi tiga variabel.