MATRIKS INVERS 08/04/2017

Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I Maka : Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

Maka , A-1 diperoleh dengan rumus : 1. A.A-1 = I 2. 3. Invers matrik 2 x 2 : Maka , A-1 diperoleh dengan rumus : 1. A.A-1 = I 2. 3. Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel OBE Metode Gauss-Jordan

Mencari invers dengan definisi Langkah-langkahnya : Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya. Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers. A A-1 = A-1 A = I

2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer) Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut: OBE

Matriks Elementer: (E) Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In. B2(5) B2(1/5) B12 B12 B32(4) B32(-4) B3= B3+ 4B2 B3= B3+(- 4)B2

Notasi sebagai berikut : E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A. Notasi sebagai berikut : OBE A = EA = . A Contoh : Ek…..E2E1A = In OBE B12 E.A B12

Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalian matrik elementer Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalian matrik elementer ! Jawab : Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertible Dengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer. B12 B21(-2) B12(1) B2(-1/3)

Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan : Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas. Dengan demikian :

3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint Langkah-langkah : Hitung Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor. Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan |A| ≠ 0

Matrik kofaktor dan matrik adjoint Jika baris ke i dan kolom j dibuang, maka disebut minor ke ij dari matrik A. Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

Matrik kofaktor dari A adalah :

Sehingga diperoleh matrik kofaktor A : Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.

Kesimpulan : Matrik Adj (A) dari A2x2 = C11 = M11 = d C12 = - M12 = - c C21 = - M21 = - b C22 = M22 = a = adj(A) =

Contoh soal : = Carilah matrik invers dari : Jawab : Cara 1) Misalkan : =

Cara 2) OBE (A | I) (I | A-1)

Cara 3) :

Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut : Jawab : (A | I) (I | A-1) OBE B21(-3) B2(-1/2) B12(-2)

3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A? dan Jawab : Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I A.B = B.A = I Jadi matrik B merupakan invers matrik A

Invers matrik 3 x 3 Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.

Carilah invers dari A = Jawab : C11 = M11 = - 5 C31 = M31 = - 4 C12 = - M12 = 1 C32 = - M32 = 0 C13 = M13 = 1 C33 = M33 = 2 C21 = - M21 = 4 C22 = M22 = - 2 C23 = - M23 = 0

adj(A) = = |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2 A-1 = = =

Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE) Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya. Notasi pencarian invers dengan OKE : OKE

Carilah invers dari B = dengan melakukan OKE ! Jawab: = K21(-2) K31(-2) ~

K12(-1) K13(-1) ~ K1(1/2) ~ K3(-1)

= Jadi B-1 =

Carilah invers dari B = dengan melakukan OBE ! Jawab : (B | I) = B13 ~ B21(1) B31(2) ~

B1(-1) B3(-1/2) ~ B13(-3) B23(1) ~ B12(-2) ~

= (I | B-1) Jadi B-1 =

Cari matrik invers dari Jawab : OBE B21(-2) B31(1) Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel) B32(1)

Mencari nilai x dari persamaan linier berikut ini: Dalam bentuk matrik persamaan tersebut ditulis menjadi : A x = b, dengan :

Dengan menggunakan OBE diperoleh matrik invers dari matrik A : Sehingga nilai x dari persamaan di atas adalah :

Faktorisasi Matrik Faktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang disebut : faktorisasi matrik. Contoh :

Faktorisasi LU Suatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LU Contoh : Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U. B21(-2) B31(1) B32(2)

Oleh karena itu : Sehingga diperoleh : A = LU

Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier. Jika didefinisikan y = Ux, maka x dapat diperoleh dengan 2 langkah yaitu : Ax = b Jika A = LU, LUx = b atau L(Ux) = b Menyelesaikan persamaan Ly = b Menyelesaikan persamaan Ux = y

Contoh soal : Selesaikan persamaan Ax = b dengan menggunakan faktorisasi LU jika diketahui : Jawab : Langkah 1: menyelesaikan persamaan Ly = b.

Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut : y1 = 1 2y1 + y2 = – 4 –y1 – 2y2 + y3= 9 Diperoleh nilai y1 =1, y2 = – 6, y3 = – 2

Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x1+ x2 + x3 = 1 – 3x2 – 3x3 = –6 2x3 = –2 Diperoleh nilai x1=1/2, x2 = 3, x3 = – 1

Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara LU jika matrik A : Jawab : Reduksi matrik A dalam bentuk eselon baris : B21(-2) B31(-1) B41(3)

Untuk mendapatkan matrik L, kita hanya memasukkan nilai perkalian pada subdiagonal matrik identitas. Tiga nilai perkalian operasi pertama yaitu 2, 1 dan – 3 : B32(-1/2) B43(1) B42(-4)

Dua nilai perkalian operasi kedua yaitu 1/2 dan 4 : Nilai perkalian operasi terakhir yaitu – 1:

Jadi hasil faktorisasi matrik A dengan metode LU adalah

Matrik permutasi (P) Matrik permutasi diperoleh dari matrik identitas yang elemennya berpindah posisi/urutannya. Contoh : Apabila matrik A adalah matrik bujursangkar, maka faktorisasi matrik A dapat dituliskan : A = PTLU = P-1LU

Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara PTLU jika Jawab : Langkah pertama, kita harus mereduksi A ke bentuk eselon baris. Minimal satu baris yang tukar posisi. B31(-2) B23 B12

Dalam kasus ini, terjadi 2 perubahan posisi baris yaitu : , maka perlu matrik permutasi : Selanjutnya dicari faktorisasi dari PA B21(-2)

Jadi, L12 = 2 sehingga diperoleh faktorisasinya adalah :

Invers matrik n x n (n > 3) Untuk menyelesaikan invers matrik 2 x 2 dengan metode OBE diperlukan 4 persamaan, sedangkan matrik 3 x 3 membutuhkan 9 persamaan dan jika diteruskan untuk matrik 4 x 4 membutuhkan 16 persamaan. Jadi untuk matrik n x n membutuhkan n2 persamaan, tentu saja memerlukan tingkat ketelitian yang sangat rumit. Oleh karena itu, matrik berukuran besar akan lebih mudah dikerjakan secara bertahap yaitu dengan membagi matrik menjadi submatrik.