Persamaan Diferensial Eksak Matematika Teknik Persamaan Diferensial Eksak
Adalah PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari F(x,y)=0 Persamaan umum P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 Adalah PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari F(x,y)=0
Maka: Jika pesamaan ini adlah PD eksak ,maka: Maka pesamaan inin adalah PD eksak.
Contoh soal Selesaikan persamaan diferensial eksak: (x2 – 4xy – 2y2)dx + (y2 – 4xy – 2x2)dy = 0
Penyelesaian Misal, x2 – 4xy – 2y2 = P(x, y) dan y2 – 4xy –2x2 = Q(x, y) maka P/y = – 4x – 4y, dan Q/x = – 4y – 4x jadi ini adalah suatu persamaan diferensial eksak.
Lanjutan Kita dapat mencari suatu fungsi F(x, y), sehingga: F/x = P(x, y) dan F/y = Q(x, y) Maka : F(x, y) = P dx = 1/3 x3 – 2x2y – 2y2x + C(y) Bila kita diferensiir, maka: F/y = – 2x2 – 4xy + C’(y) = y2 – 4xy –2x2
Lanjutan jadi: F(x, y) = 1/3 x3 – 2x2y – 2y2x + 1/3 y3 = C Dengan demikian, terdapatlah penyelesaiannya.