3 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya

Peubah Acak Diskrit Jika ruang sampel suatu percobaan bersifat diskrit Peubah acak yang memetakan hasil percobaan tsb akan bersifat diskrit pula.

Contoh: Voice Lines Suatu sistem komunikasi telepon pada perusahaan terdiri dari 48 jalur eksternal. Pada suatu waktu, sistem tsb diamati, dan terdapat beberapa jalur yang sedang digunakan. X: jumlah jalur yang sedang terpakai. X bilangan bulat dari 0, 1, 2, …, 48. Jika pada suatu waktu sistem diamati dan terdapat 10 jalur yang terpakai, maka x = 10.

Contoh: Keping Konduktor Pada suatu sistem produksi keping konduktor, 2 keping diambil secara acak. Setiap keping diklasifikasikan sebagai cacat atau tidak cacat. Diasumsikan peluang terpilihnya satu keping yang tidak cacat adalah 0.8, dan masing-masing pengambilan saling bebas X: jumlah keping cacat pada dua pengambilan

Contoh: Keping Konduktor Ruang sampel dari percobaan dan peluangnya tersaji pada Tabel 3-1. Peluang bahwa keping 1 tidak cacat dan keping 2 cacat: P(TC,C) = 0.8 * 0.2 = 0.16.

Sebaran Peluang Sebaran peluang dari peubah acak X adalah suatu gambaran nilai peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin bagi X. Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran peluang dapat berupa: Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin bagi X dengan peluangnya masing-masing. Rumus/fungsi yang digunakan untuk menghitung peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X sebagai input.

Contoh: Digital Channel Terdapat peluang terjadi kesalahan penerimaan transmisi (satuan bit: kode 0 atau 1) dari suatu channel pengiriman. X: jumlah bit yang diterima secara salah pada 4 transmisi berikutnya. Sebaran peluang yang bersesuaian dapat disajikan dalam bentuk grafik atau tabel. Figure 3-1 Probability distribution for bits in error.

Fungsi Massa Peluang Penyajian sebaran peluang dalam bentuk fungsi dengan X sebagai input atau daerah asal untuk X peubah acak diskrit

Sifat Fungsi Massa Peluang Sec 3-2 Probability Distributions & Probability Mass Functions

Contoh: Kontaminasi Keping X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah keping konduktor yang harus diperiksa sampai diperolehnya keping dengan partikel kontaminan. Asumsi: peluang bahwa keping mengandung partikel kontaminan adalah 0.01, and that the wafers are independent. p menyatakan keping mengandung partikel & a menyatakan keping tidak mengandung partikel atau absent. Ruang sampel: S = {p, ap, aap, aaap, …} Kemungkinan nilai X : x = 1, 2, 3, 4, …

Fungsi Sebaran Kumulatif Dari contoh transmisi Dapat dinyatakan peluang terjadinya 3 bit atau kurang jumlah kesalahan penerimaan: P(X ≤ 3). Kejadian (X ≤ 3) adalah gabungan dari kejadian yang mutually exclusive/saling lepas (X=0), (X=1), (X=2), (X=3). Dari tabel: P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.9999 P(X = 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = 0.0036 Sec 3-3 Cumulative Distribution Functions

Sifat Fungsi Sebaran Kumulatif Fungsi sebaran kumulatif dibentuk dari fungsi massa peluang

Contoh: Fungsi Sebaran Peluang Fungsi massa peluang dapat ditentukan dari fungsi sebaran kumulatif Figure 3-3 Graph of the CDF

Ukuran-ukuran Penting Pada Suatu Sebaran Peluang Mean adalah ukuran pemusatan dari suatu sebaran peluang. Varians adalah ukuran ketersebaran dari suatu sebaran peluang. Akarnya adalah simpangan baku

Sebaran Seragam Diskrit Sebaran diskrit yang paling mudah. Peubah acak X diasumsikan terbatas untuk nilai-nilai tertentu, dengan peluang sama bagi masing-masing nilai. Untuk setiap kemungkinan nilai X: x1, x2, …, xn, fungsi peluangnya: f(xi) = 1/n (3-5)

Contoh: Sebaran Seragam Diskrit Digit-digit pertama dari suatu nomor serial, dapat saja berupa angka angka 0 s/d 9 masing-masing dengan kemungkinan yang sama. X : angka pada digit pertama nomor serial X mempunyai sebaran seragam diskrit. Figure 3-7 Fungsi massa peluang f(x) = 1/10 untuk x = 0, 1, 2, …, 9

Sebaran Seragam Diskrit secara Umum X adalah peubah acak diskrit dengan kemungkinan nilai a sampai dengan b untuk a < b. Terdapat b – (a-1) nilai pada selang tersebut. Sehingga: f(x) = 1/(b-a+1) Ukuran pemusatan dan penyebaran: μ = E(x) = 1/(b-a) σ2 = V(x) = [(b-a+1)2–1]/12

Contoh: Jumlah jalur telepon X: jumlah jalur telepon yang sedang digunakan dari 48 jalur yang ada. X diasumsikan menyebar secara seragam (diskrit) pada selang 0, 1, …, 48. Tentukan ukuran pemusatan dan penyebaran bagi X.

Contoh Peubah Acak Binomial Melempar koin 10 kali. X= # gambar dari 10 kali lemparan. Suatu mesin menghasilkan produk dengan jumlah cacat 1% dari keseluruhan produksi. X= # jumlah cacat pada 25 unit yang diproduksi secara berurutan. Soal ujian pilihan berganda dengan 10 pertanyaan dan 4 pilihan jawaban setiap pertanyaan. X = # jawaban yang benar dari 10 pertanyaan. Dari 20 bayi yang baru lahir. X = # bayi perempuan dari 20 bayi yang baru lahir tsb.

Sifat-sifat sebaran Binomial Jumlah percobaan yang tetap (n). Setiap percobaan hanya terdiri dari sukses dan gagal. X adalah jumlah sukses dari n percobaan tsb. Peluang sukses dari setiap percobaan adalah tetap, misalkan sebesar p. Hasil dari percobaan yang dilakukan berturut-turut saling bebas.

Contoh: Digital Channel Peluang bahwa transmisi bit melalui channel digital diterima secara salah adalah 0.1. Diasumsikan bahwa Assume that the transmission trials are independent. Let X = the number of bits in error in the next 4 bits transmitted. Find P(X=2). Answer: Let E denote a bit in error Let O denote an OK bit. Sample space & x listed in table. 6 outcomes where x = 2. Prob of each is 0.12*0.92 = 0.0081 Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486 Sec 3=6 Binomial Distribution

Contoh: Digital Channel Peluang bahwa transmisi bit melalui channel digital diterima secara salah adalah 0.1. Diasumsikan bahwa setiap transmisi terjadi dengan saling bebas. X = jumlah bit yang salah diterima pada 4 bit yang ditransmisikan. Tentukan P(X=2). Sec 2-

Dinotasikan bit yang salah dengan E dan bit yang benar dengan O Ruang sampel dan nilai x (jumlah kesalahan pada 4 transmisi) ditampilkan pada tabel. Terdapat 6 hasil dengan x = 2. Masing-masing dengan peluang: 0.12*0.92 = 0.0081 Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486

Definisi Sebaran Binomial Sebaran dari peubah acak X di mana: X adalah jumlah sukses dari n percobaan peluang sukses p, 0 < p < 1 and n = 0, 1, .... Fungsi massa peluangnya:

Contoh: Polusi Organik Setiap sampel air yang diambil dari suatu sungai mempunyai 10% kemungkinan mengandung polutan. Diasumsikan bahwa sampel-sampel diambil secara bebas. Tentukan peluang bahwa pada 18 pengambilan sampel berikutnya akan diperoleh tepat 2 sampel yang mengandung polutan.

X jumlah sampel yang mengandung polutan dari 18 sampel yang diambil. Masing-masing sampel hanya mungkin mengandung atau tidak mengandung polutan. Maka X adalah peubah acak binomial dengan p = 0.1 dan n = 18

Tentukan peluang bahwa paling sedikit terdapat 4 sampel yang mengandung polutan. Sec 2-

Tentukan peluang bahwa akan ada 3 sampai dengan 7 sampel dengan polutan .

Mean dan Varians Sebaran Binomial X adalah peubah acak dengan parameter n dan p μ = E(X) = np and σ2 = V(X) = np(1-p)

Contoh: Pada kasus transmisi bit, dengan n=4 dan p=0.1. Tentukan mean (rata-rata) dan varians (ragam) dari jumlah kesalahan transmisi! Karena X adalah jumlah kesalahan dari 4 transmisi bit menyebar binomial maka: μ = E(X) = np = 4*0.1 = 0,4 σ2 = V(X) = np(1-p) = 4*0.1*0.9 = 3.6 σ = SD(X) = 1.9

Sebaran Poisson Jika jumlah percobaan (n) pada percobaan binomial semakin banyak (menuju tak hingga) dan rata-rata binomial (np) tetap, maka sebaran binomial menjadi sebaran Poisson.

Contoh Sebaran Poisson Peubah acak X yang menyebar Poisson menyatakan jumlah kejadian pada selang tertentu. Jumlah partikel kontaminasi per keping konduktor Jumlah cacat di setiap gulungan tekstil. Jumlah telepon masuk per jam. Frekuensi listrik padam per bulan. Jumlah partikel atom yang dipancarkan dari suatu spesimen per detik. Jumlah cacat pada setiap meter kabel. Sec 3-9 Poisson Distribution

Definisi Sebaran Poisson Peubah acak X adalah jumlah kejadian pada proses Poisson dengan parameter λ > 0, dan fungsi massa peluang:

Mean (rata-rata) dan Varians (ragam) Sebaran Poisson Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter λ maka: μ = E(X) = λ and σ2=V(X) = λ

Contoh Jumlah Kerusakan per Meter Kabel Diasumsikan bahwa jumlah kerusakan yang terjadi di setiap meter kabel menyebar secara Poisson dengan rata-rata 2.3 cacat per meter. X menyatakan jumlah cacat per meter kabel. Rata-rata berfungsi sebagai λ, sehingga λ = 2.3. Peluang bahwa terdapat tepat dua cacat pada suatu meter kabel adalah: Sec 2-