MATERI STATISTIK BISNIS UKURAN PENYEBARAN

DEFINISI Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Yang termasuk ukuran penyebaran : Jarak atau kisaran nilai (range) Deviasi rata-rata Varians dan standar deviasi Ukuran penyebaran lain Ukuran kecondongan Ukuran keruncingan

UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA YANG TIDAK DIKELOMPOKKAN

JARAK (RANGE) Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak. Rumus : Jarak (range) = Nilai Terbesar-Nilai Terkecil

CONTOH : Berikut adalah laju inflasi dari negara Indonesia, Malaysia dan Thailand. Hitunglah jarak (range)-nya! Apa komentar Anda? Tahun Laju Inflasi (%) Indonesia Thailand Malaysia 2002 10 2 2003 5 1 2004 6 3 2005 17 4 2006

DEVIASI RATA-RATA Deviasi rata-rata (mean deviation/MD atau averange deviation/AD) adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Dimana : MD : deviasi rata-rata X : nilai setiap data pengamatan : nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan N : jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi : lambang penjumlahan | | : lambang nilai mutlak

Pertumbuhan Ekonomi (%) CONTOH : Hitunglah deviasi rata-rata dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia. Bagaimana pendapat Anda? Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%) Negara Maju Indonesia 1994 3.2 7.5 1995 2.6 8.2 1996 7.8 1997 4.9 1998 2.2 -13.7 1999 2.0 4.8 2000 2.3 3.5 2001 2.1

VARIANS DAN STANDAR DEVIASI Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya. Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel, dimana sampel adalah bagian dari populasi.

VARIANS POPULASI Dimana : σ2 : Varians populasi (dibaca : sigma) X : nilai setiap data/pengamatan dalam populasi µ : nilai rata-rata hitung dalam populasi N : jumlah total data/pengamatan dalam populasi ∑ : simbol operasi penjumlahan

STANDAR DEVIASI POPULASI Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

VARIANS SAMPEL Varians sampel dirumuskan sebagai berikut : Dimana : s2 : varians sampel X : nilai setiap data/pengamatan dalam sampel : nilai rata-rata hitung dalam sampel n : jumlah total data/pengamatan dalam sampel ∑ : simbol operasi penjumlahan

VARIANS SAMPEL Mengapa pembagi untuk varians populasi berbeda dengan sampel, untuk populasi N, sedangkan untuk sampel n-1? Mengapa menggunakan n-1, karena apabila digunakan n akan menghasilkan dugaan yang lebih rendah (underestimate) terhadap varians populasinya. Nilai varians sampel menjadi penduga yang bias atau menyimpang terhadap populasinya. Pada ukuran sampel yang kecil, pembagi n-1 akan mengkoreksi hasil dugaan yang rendah, sehingga menjadi penduga yang tidak bias.

STANDAR DEVIASI SAMPEL

Pertumbuhan Ekonomi (%) CONTOH SOAL : Hitunglah varians sampel dan standar deviasi pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia dari tahun 2001-2004 dengan sampel untuk data tahun yang ganjil saja. Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%) Negara Maju Indonesia 2001 2.6 8.2 2002 3.2 4.9 2003 2.0 4.8 2004 2.1

UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA YANG DIKELOMPOKKAN

JARAK (RANGE) Range adalah selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah.

Contoh : Berikut adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah range dari data tsb! Kelas ke- Interval Jumlah Frekuensi (F) 1 160-303 2 304-447 5 3 448-591 9 4 592-735 736-878

VARIANS DAN STANDAR DEVIASI DATA BERKELOMPOK Dimana : s2 : varians sampel f : jumlah frekuensi setiap kelas X : nilai setiap data/pengamatan dalam sampel : nilai rata-rata hitung dalam sampel n : jumlah total data/pengamatan dalam sampel ∑ : simbol operasi penjumlahan

UKURAN PENYEBARAN RELATIF Ukuran penyebaran relatif adalah mengubah nilai ukuran penyebaran dari berbagai satuan menjadi ukuran relatif atau persen. Yang termasuk ukuran penyebaran relatif yaitu : Koefisien range Koefisien deviasi rata-rata Koefisien deviasi standar

KOEFISIEN RANGE Koefisien range adalah pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif. Koefisien range dirumuskan sebagai berikut : Dimana : KR : koefisien range dalam % La : batas atas data atau kelas tertinggi Lb : batas bawah data atau kelas terendah

KOEFISIEN DEVIASI RATA-RATA Koefisien deviasi rata-rata adalah ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya, atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya. Dimana : KMD : koefisien deviasi rata-rata dalam % MD : deviasi rata-rata : nilai rata-rata data

KOEFISIEN STANDAR DEVIASI Koefisien standar deviasi adalah ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase. Dimana : KSD : koefisien standar deviasi dalam % s : standar deviasi : nilai rata-rata data

UKURAN PENYEBARAN LAINNYA (a) Range Inter-Kuartil Range inter-kuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Jarak inter-kuartil = kuartil ketiga-kuartil pertama = K3 – K1 (b) Deviasi Kuartil Deviasi kuartil adalah setengah jarak antara kuartil ketiga (K3) dan kuartil pertama (K1)

UKURAN PENYEBARAN LAINNYA (c) Jarak Persentil Jarak persentil adalah selisih antara persentil ke-90 (P90) dengan persentil ke-10 (P10). Jarak persentil dirumuskan sebagai berikut : JP = P90 – P10

KOEFISIEN KECONDONGAN (SKEWNESS) Koefisien kecondongan menunjukkan apakah kurva condong positif, negatif atau normal. Rumus kecondongan adalah : Dimana : Sk : koefisien kecondongan µ : nilai rata-rata hitung Mo : nilai modus Md : nilai median σ : standar deviasi

KOEFISIEN KECONDONGAN (SKEWNESS) Nilai Sk = 3 berarti normasl, Sk > 3 condong positif dan Sk < 3 condong negatif.

KOEFISIEN KERUNCINGAN (KURTOSIS) Koefisien keruncingan menunjukkan apakah kurva bersifat normal, runcing, atau datar. Rumus koefisien keruncingan untuk data tidak berkelompok adalah : Dimana : α4 : koefisien kurtosis n : jumlah data X : nilai data µ : nilai rata-rata hitung data σ : standar deviasi

KOEFISIEN KERUNCINGAN (KURTOSIS) Untuk data yang dikelompokkan dirumuskan sbb : Dimana : α4 : koefisien kurtosis n : jumlah data f : jumlah frekuensi kelas X : nilai tengah kelas µ : nilai rata-rata hitung data σ : standar deviasi

KOEFISIEN KERUNCINGAN (KURTOSIS) Nilai α4 = 0 berarti kurva normal/simetris (mesokurtik), α4 > 0 kurva runcing (leptokurtik), dan α4 < 0 kurva datar (platikurtik)