PENERAPAN DIFFERENSIASI NILAI EKSTRIM KECEKUNGAN DAN KECEMBUNGAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN SESAAT

6.4 Nilai ekstrim Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5. Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x0 ,x1], menurun pada [x1 ,x2 ] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6 , x7] Definisi 6.4.1 Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2

Definisi 6.4.1 Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2

Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak- 0 x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x y Gambar 6.5 Teorema 5.4.2 Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak- tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].

Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk –3 1 b Contoh 6.6 Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut a) [-2,0] ; b) (-3, 1) ; c) [-3,-2) ; d) (-1,1] Penyelesaian y y a Pada selang [-2,0] Maksimum =f(0)=6 Minimum = f(-2) = 0  Pada selang (-3,1) Maksimum tidak ada (tak kontinu pada x=-3) Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1) x  x –2

(f tak kontinu pada x=-1) Minimum = f(1) = 12 c) Pada selang [-3,-2)  x y c d –3 –2 –1 1 d) Pada selang (-1,1] Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-1) Minimum = f(1) = 12 c) Pada selang [-3,-2) Maksimum =f(-3)=0 Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)

6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. Definisi 6.4.3 Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b). ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada (a,b).

0 a x b x1 c x y Gambar 6.7 Minimum lokal Maksimum

Teorema 6.4.4 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0. Teorema 6.4.5 Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) ada dan tidak sama dengan 0. Teorema 6.4.6 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Teorema 6.4.7 Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f’(c)= 0

6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f. Teorema 6.4.8 Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada S, maka : i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S. ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x)  f(c)

Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]: Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b) 2. Tentukan titik ujung a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah a dan b. b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai titik ujung. c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b. d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a.

3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas. 4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang terbuka (a,b): Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.

Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) : Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 3. Hitung nilai f(a) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] : Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 3. Hitung nilai f(b) 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.

Jika diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai Contoh 5.7 Jika diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [– 4,3] Penyelesaian: Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 f’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0 6x2 – 6x – 12 = 0  6(x2 – x – 2) = 0  6(x–2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = –1 f(x1 ) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = –10 f(x2 ) = f(–1) = –2 – 3 + 12 + 10 = 17 Titik ujung : – 4 dan 3 f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54 f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1

Jadi : f(2) adalah minimum lokal f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak f(-4) adalah minimum mutlak -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Gambar 6.8 17 y

6.5 Kecekungan dan kecembungan Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi, atau

y y x -r 0 r (a) (b) -r 0 r Gambar 6.9

Jika kita perhatikan Gambar 6 Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada selang terbuka (–r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (–r,r). Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas.

Definisi 6.5.1 Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f. Kurva f pada Gambar 6.10 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah pada selang (b,c).

cembung keatas cembung ke bawah y x 0 a b c Gambar 6.10 Definisi 6.5.2 Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f’’(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f’’(xo) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.

Definisi 6.5.3 Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo. Jika f’’(xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f’’(x)>0 untuk x<xo dan f’’(x) < 0 untuk x>xo atau berlaku f’’(x)<0 untuk x<xo dan f’’(x) > 0 untuk x>xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva tersebut. Contoh 6.8 Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui : f(x) = 6 – 5x + x2. Penyelesaian : f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2 Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung kebawah.

Contoh 6.9 Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang dimaksud ! Penyelesaian : f(x) = 2+x+3x2-x3 f’(x) = 1 + 6x – 3x2 f’’(x) = 6 – 6x Daerah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0  x>1 Daerah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0  x<1 Titik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0  x=1

6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita perlu mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata pada bidang datar didefinisikan sebagai dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal.

Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus, dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s = s(t).

dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus, dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari kecepatan.

Contoh 6.10 Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 – 5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat t = 15 detik. Penyelesaian Untuk t = 15 detik Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter v = 90 – 5 = 85 m/detik a = 6 m/detik2