MATRIX

Definisi Matrix adalah himpunan skalar (Riil dan Complex), yang disusun secara empat persegi panjang (baris x kolom) Skalar – skalar disebut Elemen Matrix Batas-batas [ ] atau atau

Contoh Matrix Riil baris 1 baris 3 baris 2 kolom 1 2 3 4

Notasi Matrix Nama Matrix dengan huruf Besar A, B, C, P, Q Secara lengkap Matrix A = (aij), artinya matrix A dengan elemen (aij), dimana : index i adalah baris ke-i, index j adalah kolom ke-j

Matrix Secara Umum Atau dapat ditulis :

Operasi Matrix Penjumlahan Matrix (Syarat ukuran sama) Perkalian Skalar terhadap Matrix Perkalian Matrix

Penjumlahan Matrix DEFINISI: Jika A = (aij) dan B = (bij), (ukuran sama) Maka C = A + B, dimana cij = aij + bij ; atau A + B = (aij + bij) CONTOH dan maka

Penjumlahan Matrix (1)

Perkalian Skalar terhadap Matrix Jika l suatu skalar dan A = (aij), Maka lA = (laij), Matrix lA diperoleh dengan mengalikan elemen matrix A dengan l Contoh maka

Perkalian Matrix Secara umum perkalian Matrix tidak komutatif AB  BA Perkalian Matrix AB; Matrix A = Matrix Pertama Matrix B = Matrix Kedua DEFINISI A = (aij) berukuran (p x q); B = (bij) berukuran (q x r) Maka Perkalian AB adalah Matrix C = (cij) berukuran (p x r)

Perkalian Matrix (1) u v v = l u u2 u1 Kombinasi linear satu vektor v = kelipatan u, yaitu v = lu, dengan arah yang sama (sejajar) v dan u disebut koliner (segaris) Kombinasi linear dua vektor v dan u1, u2 disebut koplanar (sebidang) u v l2u2 v = l u u2 u1 l1u1

Perkalian Matrix (1) CONTOH BA ukuran (2 x 3)

Perkalian Matrix (2)

Tugas Buat Algoritma untuk: Penjumlahan Matrix Perkalian Skalar terhadap Matrix Perkalian Matrix

Transpose Matrix DEFINISI: Jika A = (aij) dengan ukuran (m x n) maka Tranpose Matrix AT = (aji), dengan ukuran (n x m) CONTOH

Sifat Matrix Transpose (A + B)T = AT + BT (AT)T = A l(AT) = (lA)T (AB)T = BT AT

Jenis Matrix Khusus Matrix Bujur Sangkar, jumlah baris = jumlah kolom Contoh Matrix (2x2) Matrix (3 x 3)

Jenis Matrix Khusus (1) Matrix Nol ( O ) Semua elemen = 0 CONTOH Matrix (2x2) Matrix (2 x 3) Matrix (3 x 3) Sifat-Sifat Matrix NOL: A + O = A (ukuran A = ukuran O) AO = 0; OA = 0 (bila syarat perkalian OK)

Jenis Matrix Khusus (2) Matrix Diagonal Matrix Bujur sangkar, dimana elemen diluar diagonal utama = Nol (aij) =Matrix Diagonal, bila aij = 0, untuk i  j CONTOH :

Jenis Matrix Khusus (3) Matrix Identitas ( I ) Matrix Diagonal dimana diagonalnya bernilai 1 semuanya CONTOH :

Jenis Matrix Khusus (4) Matrix Idempoten, Periodik, Nilpoten AA = A2 = A (A = Matrix Bujur Sangkar) Periodik : AAA….A = Ap = A (dengan periode p-1) Nilpoten : Ar = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer terkecil)

Matrix Nilpoten Matrix A = Nilpoten dengan index = 3 = = = = O

Transformasi Elementer Penukaran tempat baris/kolom baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A) kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A) Mengalikan baris/kolom dengan Skalar l Baris ke-i dengan Skalar l  0  Hi(l)(A) Kolom ke-i dengan Skalar l  0  Ki(l)(A) Menambah baris/kolom dengan l kali baris/kolom Baris ke-i dng l kali baris ke-j, Hij(l)(A) Kolom ke-i dng l kali kolom ke-j, Kij(l)(A)

Penukaran Baris/Kolom CONTOH

Mengalikan Baris/Kolom dng Skalar CONTOH

Menambah Baris ke-i dengan Skalar kali Baris ke-j CONTOH

Menambah Kolom ke-i dengan Skalar kali Kolom ke-j

Contoh Lain

Matrix Ekivalen DEFINISI Dua Matrix dikatakan ekivalen (A~B), bila salah satunya diperoleh dari yang lain dengan transformasi2 elementer terhadap baris/kolom CONTOH Ekivalen Baris

Matrix Ekivalen (Contoh) ~ ~ ~ = B

Matrix Elementer