PERTEMUAN KE-7 DERIVATIF MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL PERTEMUAN KE-7 DERIVATIF Oleh : KBK ANALISIS

Derivatif: Latar Belakang dan Beberapa Penggunaan Derivatif

Pengertian derivatif (turunan) (1) Di dalam matematika, pembahasan di dalam kalkulus dikelompokkan menjadi tiga bagian penting, yaitu: limit, derivatif, dan integral. Derivatif merupakan salah satu gagasan terbesar yang memungkinkan kita menggambarkan dunia. Perlu beribu-ribu tahun merumuskan gagasan tersebut menjadi sesuatu yang berguna. Jadi tidak perlu takut jika kita perlu beberapa hari mengerti dan memahami derivatif.

Pengertian derivatif (turunan) (2) Derivatif dapat dipandang dari beberapa perspektif, tetapi semuanya mengarah pada satu hal, yaitu: “Derivatif menggambarkan pendekatan suatu grafik di suatu titik dengan garis lurus”. Derivatif (kalkulus diferensial) melibatkan analisis fungsi, khususnya, penentuan laju ubah (instantaneous rates of change). Secara geometri, laju ubah dikaitkan dengan grafik fungsi. Laju ubah garis lurus adalah gradien atau arah garis tersebut.

Masalah menentukan garis singgung kurva telah dipelajari oleh banyak matematikawan. Beberapa ahli yang mempelajari penentuan garis singgung diantaranya: Gilles Persone de Roberval pada tahun1630 – 1640 menentukan garis singgung kurva berdasarkan gerakan vektor di setiap titik pada grafik. Pierre de Fermat (pada saat yang hampir sama dengan Roberval) menggunakan ekstrem (maksimum) dan infinitesimal untuk menentukan garis singgung kurva. Fermat memberikan andil penemuan diferensial. Leibniz dan Newton secara tajam mendefinisikan metode penentuan garis singgung yang diterima hingga sat ini.

Gilles Persone de Roberval (1) Gambar di samping menyatakan grafik parabola yang menunjukkan komponen vektor gerak V1 dan V2 di titik P. Roberval menentukan bahwa di titik P pada parabola, terdapat dua vektor terkait dengan gerak instantaneous. Vektor V1 yang mempunyai arah sama dengan arah yang menghubungkan titik fokus parabola (titik S) dan titik P. sedangkan Vektor V2 tegak-lurus sumbu-y (garis yang tegak-lurus dengan sumbu simetri parabola). Garis singgung grafik di titik P merupakan jumlahan kedua vektor, yaitu V = V1 + V2.

Gilles Persone de Roberval (2) Menggunakan metode jumlahan dua vektor tersebut, Roberval berhasil menentukan garis singgung sejumlah kurva, termasuk ellips dan sikloida. Namun, Roberval mengalami kesulitan menggeneralisasi metodenya untuk sebarang kurva

Pierre de Fermat Metode Pierre De Fermat untuk menentukan garis singgung dikembangkan sejak 1630. Meskipun metode yang digunakan tidak dirumuskan dengan tegas, metode tersebut hampir sama dengan metode yang digunakan Newton dan Leibniz. Fermat sangat terkenal dengan masalah maksimum Fermat dan Gradien garis singgung Fermat (Fermat’s maxima and tangent). Permasalahan inilah yang membawa pada derivatif. Pertama, Fermat memberikan teknik penentuan maksimum (Fermat’s maxima). Kedua, teknik penentuan maksimum mendasari penentuan gradien garis singgung.

Masalah maksimum Fermat Permasalahan maksimum Fermat: “Suatu segmen garis dibagi menjadi dua bagian. Dicari ukuran masing-masing bagian sehingga hasil kali panjang kedua bagian maksimum”.

Suatu garis dengan panjang a satuan panjang dibagi menjadi dua bagian Suatu garis dengan panjang a satuan panjang dibagi menjadi dua bagian. Katakan panjang kedua bagian berturut-turut sebesar x dan (a - x). Tujuan Fermat adalah memaksimumkan x (a - x). Pada saat itu, pendekatan yang dilakukan Fermat dikategorikan misterius, tetapi metode Fermat dipahami dengan cara sangat sederhana dengan pengertian limit. Fermat menyelesaikan permasalahan dengan mengganti x dengan x + E dan menyatakan bahwa saat nilai maksimum ditemukan, x dan x + E akan bernilai sama.

Jadi diperoleh: x(a - x) = (x + E)(a - x - E). Penyederhanaan yang dilakukan memberikan: Fermat mengambil E = 0, sehingga diperoleh: Jadi untuk memperoleh hasil kali panjang kedua bagian maksimum, segmen garis tersebut haruslah dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang.

Meskipun hasil yang diperoleh Fermat benar, metode Fermat memuat lubang misterius. Fermat menyederhanakan masalah dengan mengambil E = 0, sehingga pada langkah pembagian dengan E, Fermat melakukan pembagian dengan nol. Sebenarnya, saat Fermat merumuskan metodenya dengan mengambil E = 0, Fermat memperhatikan nilai E mendekati (approaches) nol. Metode Fermat di dalam penentuan ekstrem maksimum tersebut dipahami dengan mudah menggunakan derivatif (metode yang sekarang dikenal).

Dengan mengambil substitusi x + E untuk x, Fermat menyatakan bahwa f(x+E) = f(x), atau f(x+E) - f(x) = 0. Diperhatikan bahwa f(x) merupakan polynomial yang dapat dibagi oleh E. Dengan demikian, metode Fermat dapat dipahami menggunakan pengertian derivatif untuk penentuan maksimum, yaitu:

Selanjutnya, menggunakan E yang misterius tersebut, Fermat melangkah mengembangkan metode menentukan garis singgung kurva. Diperhatikan grafik parabola berikut. Fermat menggambar garis singgung di titik x dan mengambil satu titik berjarak E terhadap x. Dengan memanfaatkan similaritas segitiga, diperoleh: sehingga

Fermat kembali mengambil E = 0 (di dalam kalkulus moderen, Fermat mengambil limit E mendekati 0) dan penyebut di ruas kanan nilai s identik dengan diferensialnya yang bersesuaian dengan metodenya menentukan nilai minimum. Dengan demikian, untuk menentukan gradien kurva, Fermat menentukan f(x)/s. Dengan metode tersebut, Fermat berhasil menemukan aturan (rumus) umum mendapatkan gradien garis singgung di titik x untuk fungsi mempunyai rumus . Namun untuk fungsi secara umum, Fermat belum mampu.

Leibniz Leibniz mendefinisikan derivatif fungsi y = f(x) di x sebagai berikut:

Selain terkenal dengan penentuan luas di bawah kurva dengan integral, Leibniz menemukan hubungan luas dan derivatif menggunakan konsep diferensial.

Perumumam (1) Gradien didefinisikan sebagai rasio perubahan vertikal dan perubahan horisontal yang terjadi antara dua titik sebarang pada garis. Gradien garis lurus antara dua titik pada garis tersebut selalu sama, sehingga laju ubah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus bernilai konstan. Secara umum, laju ubah fungsi yang grafiknya bukan garis lurus berubah-ubah. Laju ubah di sekitar titik tertentu dapat didekati dengan gradien garis lurus melalui dua titik di sekitar titik tersebut.

Perumuman (2) Diberikan grafik fungsi f. Penentuan laju ubah f di titik (x,f(x)). 1. Dipilih titik (x+h, f(x+h)) yang dekat dengan (x,f(x)). 2. Dihitung gradien garis yang menghubungkan titik (x,f(x)) dan (x+h, f(x+h)) , yaitu [f(x+h) - f(x)] / [(x+h) - x]. Pendekatan menjadi lebih akurat diperoleh dengan mengambil h semakin kecil. Dengan menggunakan limit, untuk h mendekati nol, gradien garis pendekatan menjadi laju ubah fungsi di titik (x,f(x)). Laju ubah fungsi f di titik x, yang dikenal sebagai derivatif fungsi f di titik x, didefinisikan oleh asalkan nilai limit ada.

Perumuman (3) Permasalahan laju ubah garis lurus (gradien garis singgung) berkembang menjadi laju ubah suatu kuantitas terhadap kuantitas lain. Masalah tersebut dikenal sebagai derivatif dari kuantitas pertama terhadap kuantitas kedua. Sebagai contoh, penentuan kecepatan jatuhnya bola pada saat tertentu merupakan permasalahan penentuan laju ubah posisi bola terhadap waktu.

Diperhatikan bahwa derivatif fungsi f merupakan fungsi, sehingga masih dimungkinkan mempunyai derivatif yang dikenal sebagai derivatif kedua fungsi f.

Penggunaan Derivatif (1) Derivatif digunakan untuk menyelesaikan permasalahan terkait laju ubah dan optimisasi. Derivatif sebagai laju ubah dapat diterapkan pada sebarang masalah laju ubah suatu kuantitas terhadap kuantitas lain. Pemakaian pada masalah teknik dan sains mempengaruhi kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh: Laju ubah satelit komunikasi ditentukan berdasarkan letaknya yang tergantung waktu.

Transformational Communications Satellite System (TSAT) milik USA

Penggunaan Derivatif (2) Percepatan jatuhnya suatu partikel ditentukan dari penurunan kecepatan terhadap waktu, sedangkan kecepatan jatuhnya partikel tersebut dihitung dari penurunan posisi partikel terhadap waktu. Gaya yang digunakan untuk mengalirkan gas alam melalui pipa untuk jarak yang panjang dilakukan dengan menurunkan tekanan gas terhadap jarak.

Penggunaan Derivatif (3) Aplikasi penting dari derivatif pada grafik melibatkan informasi dari derivatif pertama dan kedua, serta interpretasi geometrik yang terkait. Derivatif pertama memberikan laju ubah. Nilai derivatif pertama di suatu titik memberikan gradien garis singgung grafik (kurva) di titik tersebut. Dalam hal derivatif bernilai positif, fungsi merupakan fungsi naik. Dalam hal derivatif bernilai negatif, fungsi merupakan fungsi turun. Dalam hal derivatif bernilai nol di titik dengan absis x, garis singgung kurva di x berupa garis horisonal sejajar sumbu-x, sehingga terjadi perubahan naik – turun fungsi di x (tergantung derivatif kedua).

Penggunaan Derivatif (3) Derivatif kedua memberikan laju ubah dari laju ubah, sehingga memberikan informasi kelengkungan (curvature) grafik fungsi. Derivatif kedua positif, fungsi cembung ke bawah (convex downward atau concave upward). Saat derivatif kedua negatif, grafik cekung ke bawah (concave downward atau convex upward). Informasi derivatif pertama dan kedua fungsi memampukan menggambar grafik tanpa melakukan plot beratus-ratus titik.

Penggunaan Derivatif (4) Derivatif mempunyai aplikasi pada masalah penentuan ekstrem (maksimum atau minimum) fungsi. Sebagai contoh, jika volume benda ditentukan, maka dapat ditunjukkan bahwa bola mempunyai luas permukaan terkecil daripada sebarang bentuk geometri di ruang dimensi-3. Hal ini memberikan interpretasi bentuk optimum air hujan berupa bola pejal dengan luas permukaan terkecil tetapi volume air terbesar.

Contoh masalah derivatif (1) Diambil kubus dengan panjang setiap sisi sebesar 8 satuan. Berapakah diferensial volumenya jika Anda mempunyai kubus dengan panjang sisi sebesar 7,99?

Contoh masalah derivatif (3) Hukum Newton untuk pemanasan (atau pendinginan) menyatakan bahwa laju ubah temperatur T suatu benda (misal kentang) proporsional terhadap selisih temperatur antara obyek dengan sekitarnya (misal oven), yaitu, Pada saat suhu oven dan suhu kentang di ruangan ( ) dimasukkan ke dalam oven saat t = 0. Diketahui termometer pengukur suhu pembakaran dimasukkan ke dalam kentang. Setelah 3 menit, suhu kentang menjadi . Berapa waktu yang diperlukan agar suhu kentang mencapai ?

Contoh masalah derivatif (4) Diketahui V (t) menyatakan volume tumor saat t. Pertumbuhan tumor diketahui memenuhi persamaan Gompertzian, yaitu dengan a dan b konstanta positif. Tunjukkan bahwa volume tumor naik monoton terhadap waktu dan mempunyai nilai berhingga untuk t mendekati1. Tentukan nilai limit tersebut.

Contoh masalah derivatif (5) Jika banyaknya radioaktif isotop uranium-232 berkurang 25% setelah 30 tahun, berapa banyak radioaktif tersebut setelah 100 tahun? Berapa waktu paruh radioaktif tersebut?

Contoh masalah derivatif (3) OPTIMISASI Masalah optimisasi mengacu pada masalah ekstrem (maksimum atau minimum). Hendak dibuat persegi-panjang dengan keliling 1000 cm. Tentukan ukuran panjang dan lebar persegi-panjang tersebut sehingga luasnya maksimum!

Contoh masalah derivatif (4) Cara terbaik menyelesaikan permasalahan adalah dengan membuat sketsa persegi-panjang yang hendak ditentukan ukurannya.

Contoh masalah derivatif (5) (i) Katakan panjang p cm dan lebar ℓ cm. Luas dinyatakan dengan A dan keliling dinyatakan dengan K. (ii) Diperhatikan bahwa A= p ℓ dan K = 2 ℓ +2p. (iii) Menurut yang diketahui, 2 ℓ +2p = 1000. (iv) Diperhatikan bahwa A merupakan fungsi dengan dua perubah. Menggunakan (iii), A dapat diubah menjadi fungsi satu perubah, katakan dalam ℓ (Saudara juga dapat menyatakan ke dalam perubah p saja).

Contoh masalah derivatif (6) (v) Subtitusi nilai ℓ ke A, diperoleh (vi) A merupakan fungsi dengan perubah bebas p. Grafik fungsi A merupakan parabola dengan titik balik maksimum (p, A), dengan

Contoh masalah derivatif (7) (vii) Untuk mendapatkan maksimum p, derivatif A terhadap p bernilai 0. (viii) Diperoleh panjang 250 cm dan lebar 250 cm. (ix) Dengan demikian luas maksimum sebesar 62.500 centimeter persegi.

Dimana Saudara menemukan RUMUS BERIKUT? Derivatif lanjut Permasalahan di dalam kehidupan sehari-hari tidak hanya melibatkan fungsi satu perubah. Permasalahan derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih membawa diselesaikan dengan derivatif parsial. Dimana Saudara menemukan RUMUS BERIKUT?

Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau lebih Kimia Fisika (Physical chemists): sifat-sifat termodinamika dari sistem kimia menggunakan konsep integral dan derivatif (derivatif parsial dan persamaan diferensial). Entropy The Maxwell relations for the Gibb’s energy state function

Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau lebih Gibbs free energy and corresponding Maxwell’s relation

Pustaka The History of the Calculus and the Development of Computer Algebra Systems http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calctoc.html Brendenberger, B.M.Jr., Mathematics, Vol. 1 Ab-Cy, Macmillan reference USA, Thomson Gale, 2002.