Aturan Rantai (Chain Rule) Tim Dosen Kalkulus 2 Tahun akademik 2010/2011 Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Jika x=x(t) dan y=y(t) fungsi yang diferensiabel di t, dan jika z=f(x,y) diferensiabel di titik (x(t), y(t)), maka z=f(x(t),y(t)) diferensiabel di t, dan Tim Kalkulus 2

Andaikan dimana . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat Contoh: Misal , dimana x=cos , y=sin . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat   Andaikan dimana . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Andaikan z=F(x,y), dan y adalah fungsi diferensiabel terhadap x, rumus aturan rantainya memenuhi Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari . atau asalkan Contoh: Diberikan , tentukan dengan menggunakan hasil diatas. Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dimana x dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni . Dengan mensubstitusikan fungsi x dan y diperoleh hubungan z=f(x(u,v),y(u,v)), sehingga z menjadi fungsi dua variabel u dan v. Dengan demikian kita dapat mencari turunan parsial pertama dan . Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Teorema Jika mempunyai turunan parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y) diferensiabel di titik (x(u,v),y(u,v)), maka z=f(x(u,v),y(u,v)) mempunyai turunan parsial pertama di (u,v), yang memenuhi Tim Kalkulus 2

dimana , dengan menggunakan aturan rantai tentukan dan . Contoh   Contoh Tentukan kecepatan perubahan luas persegi panjang yang panjangnya 15 inch berubah dengan kecepatan 3 inch/dt dan lebarnya 6 inch berubah dengan kecepatan 2 inch/dt. Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel Theorema Jika x=x(t) , y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiabel di t, dan w=f(x,y,z) diferensiabel di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiabel di t, dan Tim Kalkulus 2

Contoh: Misal w=ln (3x2-2y+4z3) dimana , , dan Tentukan Tim Kalkulus 2

Aturan Rantai Fungsi n Variabel Definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n variabel. Jika v1, v2, … , vn adalah fungsi-fungsi satu variabel t, maka w= f(v1, v2, … , vn) adalah suatu fungsi t, dan rumus aturan rantai untuk adalah: Tim Kalkulus 2

Misal . Tentukan turunan Contoh: Misal . Tentukan turunan parsial pertama terhadap variabel-variabelnya.   Misal w=xy+yz, y=sin x, z=ex. Tentukan Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi Implisit Tiga Variabel Theorema Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi Implisit Empat Variabel Theorema Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka Tim Kalkulus 2